Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré. Il articule deux approches : une approche graphique, basée sur l'observation des tangentes horizontales et des intersections avec l'axe des abscisses, et une approche algébrique, nécessitant la maîtrise des outils de dérivation et de l'étude du signe d'un trinôme du second degré.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont mobilisées :

• Dérivation : Appliquer la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$. Ici, la dérivation d'un polynôme de degré 3 donne un trinôme du second degré.
• Second degré : Savoir calculer le discriminant $\Delta$ pour trouver les racines de la dérivée et en déduire son signe.
• Lien entre signe de $f'$ et variations de $f$ : Une fonction est croissante là où sa dérivée est positive.
• Position relative : Comprendre que la position relative de deux courbes $\mathcal{C}_g$ et $D$ s'étudie en analysant le signe de la différence $g(x) - y_D$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Lecture graphique

En observant la courbe $\mathcal{C}_f$, on cherche les points d'intersection avec l'axe des abscisses ($y=0$). On lit graphiquement $x = -1$ (point A) et $x = 1$. Les solutions de $f(x)=0$ sont donc $S = \{-1 ; 1\}$.

2. Calcul de la dérivée

Soit $f(x) = x^3 + x^2 - x - 1$. La fonction est une somme de fonctions puissances dérivables sur $\mathbb{R}$.
On obtient : $f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$.

3. Tableau de variations

Pour dresser le tableau, étudions le signe de $f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$. C'est un trinôme du second degré.
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16$.
Le discriminant est positif, il y a deux racines :
$x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$ et $x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$.
Le coefficient de $x^2$ étant positif ($a=3$), la parabole est tournée vers le haut. $f'(x)$ est donc positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.
Variations : $f$ est croissante sur $]-\infty ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; 1/3]$, puis croissante sur $[1/3 ; +\infty[$. Les extremums correspondent bien aux points $A$ et $B$ cités dans l'énoncé.

4. Position relative de $\mathcal{C}_g$ et $D$

On étudie le signe de $d(x) = g(x) - (x+1) = (x^3 + x^2) - (x + 1) = x^3 + x^2 - x - 1$.
On remarque que $d(x) = f(x)$.
D'après l'étude précédente :
Sur $]-\infty ; -1]$, $f$ est croissante et $f(-1)=0$, donc $f(x) \leq 0$.
Sur $[-1 ; 1]$, $f$ descend jusqu'à $y_B \approx -1.18$ puis remonte vers $f(1)=0$. Elle est donc négative sur cet intervalle.
Sur $[1 ; +\infty[$, $f$ est croissante et $f(1)=0$, donc $f(x) \geq 0$.
Conclusion : $\mathcal{C}_g$ est en dessous de $D$ sur $]-\infty ; 1]$ et au-dessus sur $[1 ; +\infty[$.