Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques de niveau Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré. Il articule deux approches complémentaires : l'analyse graphique (lecture de coordonnées et de coefficients directeurs) et l'analyse algébrique (calcul formel de dérivée et résolution d'équations du second degré).
Points de vigilance et notions clés
- Lecture du nombre dérivé : Il faut se rappeler que $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$. Graphiquement, on utilise le déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal.
- Dérivation : La règle de dérivation des puissances $x^n$ est centrale. Ici, $f$ est de la forme $ax^3 + bx^2 + cx + d$.
- Second degré : L'étude du signe de la dérivée nécessite la maîtrise du discriminant $\Delta$ pour dresser le tableau de variations.
- Équation de tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ est indispensable pour vérifier l'appartenance d'un point extérieur.
Correction Détaillée
1. Lecture graphique :
Pour $x = -1$, on lit le point sur la courbe $(-1 ; 1)$, donc $f(-1) = 1$. La tangente y est descendante ; en se déplaçant de 1 vers la droite, on descend de 1, donc $f'(-1) = -1$.
Pour $x = 0$, on lit le point $(0 ; 1)$, donc $f(0) = 1$. La tangente y monte : en avançant de 1, on monte de 2, donc $f'(0) = 2$.
2. Calcul algébrique :
a) La dérivée de $f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ est $f'(x) = 3x^2 + 6x + 2$.
b) Pour résoudre $3x^2 + 6x + 2 = 0$, on calcule $\Delta = 6^2 - 4 \times 3 \times 2 = 36 - 24 = 12$. Les solutions sont $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{12}}{6} = -1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ et $x_2 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$.
3. Tableau de variations :
Le trinôme $3x^2 + 6x + 2$ est du signe de $a=3$ (positif) à l'extérieur des racines. La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty ; x_1]$, décroissante sur $[x_1 ; x_2]$, puis croissante sur $[x_2 ; +\infty[$.
4. Tangente au point d'abscisse -2 :
Calculons d'abord $f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 2(-2) + 1 = -8 + 12 - 4 + 1 = 1$.
Calculons $f'(-2) = 3(-2)^2 + 6(-2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$.
L'équation de la tangente $T_{-2}$ est : $y = 2(x - (-2)) + 1$, soit $y = 2x + 5$.
Vérifions pour $S(-4 ; -3)$ : $2 \times (-4) + 5 = -8 + 5 = -3$. Le point $S$ appartient bien à la tangente.