Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un grand classique du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il combine l'étude purement algébrique d'une fonction polynôme du troisième degré avec une application concrète de géométrie dans l'espace (optimisation de volume). L'enjeu est de faire le lien entre la variation d'une fonction, le signe de sa dérivée et les contraintes réelles d'un problème physique.

Points de vigilance et notions requises

• Dérivation : Maîtriser la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$. Savoir dériver une somme et manipuler les constantes.
• Second degré : Pour étudier le signe de $f'(x)$, il faut calculer le discriminant $\Delta$ ou repérer des racines évidentes pour factoriser le trinôme.
• Modélisation : Comprendre comment les dimensions de la plaque (12 cm) sont réduites par le découpage des coins ($-2x$) pour former la base de la boîte.
• Interprétation : Ne pas oublier que le maximum de la fonction sur son domaine de définition correspond à la solution du problème d'optimisation.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Étude de la fonction $f$

La fonction est définie par $f(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$.
a) Calcul de la dérivée : En dérivant terme à terme, on obtient $f'(x) = 4 \times 3x^2 - 48 \times 2x + 144 = 12x^2 - 96x + 144$.
En factorisant par 12, on retrouve bien $f'(x) = 12(x^2 - 8x + 12)$.
b) Variations : Étudions le signe du trinôme $x^2 - 8x + 12$. Le discriminant est $\Delta = (-8)^2 - 4(1)(12) = 64 - 48 = 16$. Les racines sont $x_1 = (8-4)/2 = 2$ et $x_2 = (8+4)/2 = 6$.
Le coefficient devant $x^2$ étant positif, la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$, décroissante sur $[2 ; 6]$ et croissante sur $[6 ; +\infty[$.

2. Application au volume de la boîte

a) Calcul pour $x=1$ : Si on découpe des carrés de 1 cm, la hauteur est $h=1$, la largeur est $12-2(1)=10$ et la longueur est $12-2(1)=10$. Le volume est $V = 1 \times 10 \times 10 = 100$ cm³.
b) Expression générale : La hauteur est $x$. La base est un carré de côté $12-2x$. Le volume est $V(x) = x(12-2x)^2$.
En développant : $V(x) = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$, ce qui correspond bien à $f(x)$.
c) Maximum : D'après le tableau de variations établi précédemment, sur l'intervalle $]0 ; 6[$, la fonction $f$ atteint son maximum local en $x = 2$. La valeur permettant d'obtenir le volume maximal est donc $x = 2$ cm.