Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, issu des épreuves de 2020 pour la spécialité mathématiques en Première, combine deux piliers du programme : l'étude d'un trinôme du second degré et l'application de la dérivation à un problème de géométrie. L'objectif est de trouver l'abscisse $x$ qui maximise l'aire d'un rectangle dont un sommet est mobile sur une hyperbole. Ce type d'exercice est classique aux épreuves de baccalauréat car il vérifie la capacité de l'élève à modéliser un problème physique par une fonction et à utiliser les outils de l'analyse pour conclure.

Points de vigilance et prérequis

• Le discriminant : Savoir calculer $\Delta$ et identifier les racines d'un polynôme du second degré pour en déduire son signe.
• La règle du quotient : Appliquer correctement la formule $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ pour dériver la fonction aire.
• Interprétation géométrique : Comprendre que la largeur du rectangle est donnée par $8 - x$ (distance entre les points A et B) et sa hauteur par l'ordonnée du point E.

Correction détaillée du problème

Partie A : Étude du trinôme

On considère $P(x) = -10x^2 - 40x + 120$. Pour déterminer son signe, calculons le discriminant :
$\Delta = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(-10)(120) = 1600 + 4800 = 6400$.
Comme $\Delta > 0$, le trinôme admet deux racines réelles :
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{40 - 80}{-20} = 2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{40 + 80}{-20} = -6$.
Le coefficient $a = -10$ est négatif, donc $P(x)$ est positif entre les racines. Sur $\mathbb{R}$, $P(x) > 0$ pour $x \in ]-6 ; 2[$.

Partie B : Optimisation de l'aire

1. Aire pour $x=0$ :
Le rectangle a pour largeur $8 - 0 = 8$. L'ordonnée de E est $y = \frac{10(0)+4}{0+2} = 2$. L'aire est donc $8 \times 2 = 16$.

2. Aire pour $x=4$ :
La largeur est $8 - 4 = 4$. L'ordonnée de E est $y = \frac{10(4)+4}{4+2} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}$.
L'aire est $4 \times \frac{22}{3} = \frac{88}{3} \approx 29,33$.

3. Recherche de l'aire maximale

La fonction aire est donnée par $f(x) = \frac{-10x^2 + 76x + 32}{x + 2}$. Dérivons $f$ sur $[0 ; 8]$ :
En posant $u(x) = -10x^2 + 76x + 32$ et $v(x) = x + 2$, on obtient :
$f'(x) = \frac{(-20x + 76)(x + 2) - (-10x^2 + 76x + 32)(1)}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{-20x^2 - 40x + 76x + 152 + 10x^2 - 76x - 32}{(x+2)^2} = \frac{-10x^2 - 40x + 120}{(x+2)^2}$.
On reconnaît au numérateur le polynôme $P(x)$ de la Partie A. Le dénominateur $(x+2)^2$ étant toujours positif, $f'(x)$ est du signe de $P(x)$.
Sur $[0 ; 8]$, $f'(x)$ est positive sur $[0 ; 2]$ et négative sur $[2 ; 8]$. La fonction $f$ est donc croissante puis décroissante. Le maximum est atteint pour $x = 2$.

Conclusion

L'aire du rectangle ABDE est maximale lorsque l'abscisse $x$ du point A est égale à 2.