Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques combine deux domaines fondamentaux : l'analyse fonctionnelle (via la dérivation) et la géométrie repérée. L'objectif est de modéliser une situation géométrique (l'aire d'un rectangle mobile sous une parabole) par une fonction, puis d'utiliser les outils du calcul différentiel pour déterminer une valeur optimale.

Points de vigilance et notions requises

• Dérivation : Il faut savoir dériver un polynôme de degré 3 : $(x^n)' = nx^{n-1}$. Ici, la dérivée de $f(x) = 8x - 2x^3$ est $f'(x) = 8 - 6x^2$.
• Étude de signe : L'étude des variations de $f$ repose sur le signe de $f'$. Il est crucial de factoriser $f'(x) = 2(4 - 3x^2)$ pour identifier les racines $\pm\sqrt{4/3}$.
• Géométrie dans le repère : Savoir exprimer les distances en fonction des coordonnées. Pour $M(x; y_M)$ et $S(-x; y_S)$, la longueur $MS$ est $|x_M - x_S| = 2x$.
• Liaison Géométrie-Analyse : La hauteur du rectangle est donnée par la différence des ordonnées entre la droite $\mathscr{D}$ ($y=4$) et le point $M$ ($y=x^2$).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Étude de la fonction f

La fonction est $f(x) = 8x - 2x^3$ sur $[0; 2]$.
a) Dérivée : $f'(x) = 8 - 3 \times 2x^2 = 8 - 6x^2 = 2(4 - 3x^2)$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement du signe du binôme $4 - 3x^2$.
b) Variations : Sur $[0; 2]$, $4 - 3x^2 = 0 \iff x^2 = 4/3 \iff x = \sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
Le coefficient devant $x^2$ étant négatif ($-3$), la fonction $4-3x^2$ est positive entre les racines. Ainsi, $f'(x) > 0$ sur $[0; 2/\sqrt{3}[$ et $f'(x) < 0$ sur $]2/\sqrt{3}; 2]$. La fonction $f$ est croissante puis décroissante.

2. Application géométrique

a) Aire constante ? Non. Si $x \to 0$, $M$ se rapproche de l'axe des ordonnées, la largeur $MS \to 0$, donc l'aire tend vers 0. Si $x \to 2$, $M(2, 4)$, le point est sur la droite $\mathscr{D}$, la hauteur $ME \to 0$, l'aire tend vers 0. L'aire varie donc selon $x$.
b) Expression de l'aire : Soit $M(x; x^2)$ avec $x \in ]0; 2[$.
- Largeur $MS = x_M - x_S = x - (-x) = 2x$.
- Hauteur $ME = y_E - y_M = 4 - x^2$.
L'aire $\mathcal{A}(x) = MS \times ME = 2x(4 - x^2) = 8x - 2x^3$. On retrouve bien $f(x)$.
c) Maximum : Le maximum est atteint pour $x = 2/\sqrt{3}$.
$f(2/\sqrt{3}) = 8(2/\sqrt{3}) - 2(2/\sqrt{3})^3 = 16/\sqrt{3} - 2(8/(3\sqrt{3})) = 16/\sqrt{3} - 16/(3\sqrt{3})$.
En mettant au même dénominateur : $(48 - 16) / (3\sqrt{3}) = 32 / (3\sqrt{3})$.