Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il combine une approche graphique (lecture de tangente) et une approche analytique (calcul algébrique). L'objectif est d'étudier une fonction $f$ de la forme $P(x)e^x$, où $P$ est un polynôme du second degré, sur l'intervalle $[-4 ; 2]$. Ce type de structure est fréquent au baccalauréat car il permet d'évaluer plusieurs compétences clés simultanément : la dérivation d'un produit, la gestion de l'exponentielle et l'étude du signe d'un trinôme.

Points de vigilance

• Coefficient directeur : Rappelez-vous que $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$. Si la tangente est horizontale, alors $f'(a) = 0$.
• Formule du produit : La fonction est de la forme $u(x)v(x)$. La dérivée est $(uv)' = u'v + uv'$. Une erreur classique consiste à dériver chaque facteur séparément sans utiliser la formule.
• Signe de l'exponentielle : Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Cela signifie que le signe de $f'(x)$ dépendra exclusivement du signe du polynôme du second degré obtenu après factorisation.

Guide de résolution et Correction

1. Lecture graphique de $f'(-1)$ : Le point A possède une tangente $\mathcal{T}$ horizontale. Par définition du nombre dérivé, son coefficient directeur est nul. Donc $f'(-1) = 0$.

2. Résolution graphique de $f'(x) \leqslant 0$ : Chercher où $f'(x)$ est négatif revient à identifier les intervalles où la fonction $f$ est décroissante. Graphiquement, la courbe descend sur $[-4 ; -1]$ et sur $[1,5 ; 2]$. L'ensemble des solutions est donc $S = [-4 ; -1] \cup [1,5 ; 2]$.

3. Calcul de la dérivée :
On pose $u(x) = -x^2 + 2,5x - 1$ donc $u'(x) = -2x + 2,5$.
On pose $v(x) = e^x$ donc $v'(x) = e^x$.
En appliquant $(uv)'$, on obtient :
$f'(x) = (-2x + 2,5)e^x + (-x^2 + 2,5x - 1)e^x$.
En factorisant par $e^x$ : $f'(x) = (-2x + 2,5 - x^2 + 2,5x - 1)e^x = (-x^2 + 0,5x + 1,5)e^x$.

4. Signe de $f'(x)$ : Le signe dépend du trinôme $-x^2 + 0,5x + 1,5$. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 0,5^2 - 4(-1)(1,5) = 0,25 + 6 = 6,25$.
Les racines sont $x_1 = \frac{-0,5 + 2,5}{-2} = -1$ et $x_2 = \frac{-0,5 - 2,5}{-2} = 1,5$. Le trinôme est du signe de $a=-1$ (négatif) à l'extérieur des racines.

5. Variations : $f$ est décroissante sur $[-4 ; -1]$, croissante sur $[-1 ; 1,5]$ et décroissante sur $[1,5 ; 2]$.