Analyse de l'énoncé
Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré $h(x) = -x^3 + 30x^2 - 108x - 490$. L'objectif est de mobiliser les outils fondamentaux de l'analyse : le calcul de la dérivée, le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction, ainsi que l'interprétation graphique. L'énoncé demande également de déterminer l'équation d'une tangente, une compétence clé du programme.
Points de vigilance et notions requises
- Règles de dérivation : Il faut maîtriser les dérivées usuelles, notamment $(x^n)' = nx^{n-1}$. Pour $h(x)$, la dérivée est une fonction du second degré.
- Analyse graphique : Savoir identifier qu'une fonction de degré 3 a pour dérivée une fonction de degré 2 (parabole). Le signe du coefficient dominant (ici $-3$) indique si la parabole est tournée vers le haut ou le bas.
- Équation de tangente : La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ doit être connue par cœur.
- Étude du second degré : Pour trouver les racines de $h'(x)$, le calcul du discriminant $\Delta$ est nécessaire.
Guide de résolution détaillé
1. Calcul de la dérivée
En appliquant les règles de dérivation terme à terme :
$h'(x) = -3x^2 + 30 \times 2x - 108 = -3x^2 + 60x - 108$.
2. Identification des courbes
La fonction $h$ est de degré 3, sa courbe $\mathcal{C}$ est donc une cubique. Sa dérivée $h'$ est une fonction du second degré dont le coefficient de $x^2$ est $-3$. Sa représentation graphique $\mathcal{C}'$ est donc une parabole tournée vers le bas (forme en "pont"). Sur le graphique, $\mathcal{C}_2$ correspond à cette parabole, tandis que $\mathcal{C}_1$ correspond à la fonction $h$.
3. Équation de la tangente au point d'abscisse 0
On utilise la formule $y = h'(0)(x-0) + h(0)$.
Calculons les valeurs :
$h(0) = -490$
$h'(0) = -108$
L'équation est donc : $y = -108x - 490$.
4. Signe de $h'(x)$ et variations
Pour étudier le signe de $h'(x) = -3x^2 + 60x - 108$, on cherche ses racines :
$\Delta = 60^2 - 4 \times (-3) \times (-108) = 3600 - 1296 = 2304$.
$\sqrt{\Delta} = 48$. Les racines sont $x_1 = \frac{-60+48}{-6} = 2$ et $x_2 = \frac{-60-48}{-6} = 18$.
Comme $a = -3 < 0$, $h'(x)$ est négative à l'extérieur des racines et positive entre 2 et 18. On en déduit que $h$ est décroissante sur $[-6~;~2]$, croissante sur $[2~;~18]$ et décroissante sur $[18~;~26]$.