Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'optimisation géométrique. L'objectif est de trouver les dimensions d'un rectangle d'aire fixe (49 m²) minimisant son périmètre. Ce type de problème est un classique qui fait le lien entre la géométrie plane et l'analyse de fonctions.

Points de vigilance et notions requises

• Relations géométriques : Il faut parfaitement maîtriser les formules de l'aire (\(A = x \times y\)) et du périmètre (\(P = 2x + 2y\)).
• Dérivation : La dérivation de la fonction inverse est cruciale. Rappel : la dérivée de \(\frac{k}{x}\) est \(-\frac{k}{x^2}\).
• Étude de signe : L'étude du signe de la dérivée nécessite de résoudre une inéquation du second degré ou de reconnaître une identité remarquable au numérateur.

Correction détaillée

1. Mise en équation :
a. On sait que l'aire \(xy = 49\), d'où \(y = \frac{49}{x}\). Le périmètre est \(P = 2x + 2y\). En remplaçant \(y\), on obtient \(P(x) = 2x + 2\left(\frac{49}{x} ight) = 2x + \frac{98}{x}\).
b. Pour \(x = 10\), \(P(10) = 2(10) + \frac{98}{10} = 20 + 9,8 = 29,8\) mètres.

2. Calcul de la dérivée :
La fonction est de la forme \(f(x) = 2x + 98 \times \frac{1}{x}\). Sa dérivée est \(f'(x) = 2 - \frac{98}{x^2}\).
En mettant au même dénominateur : \(f'(x) = \frac{2x^2}{x^2} - \frac{98}{x^2} = \frac{2x^2 - 98}{x^2}\).

3. Variations de la fonction :
Le signe de \(f'(x)\) dépend uniquement de son numérateur \(2x^2 - 98\) car \(x^2 > 0\).
\(2x^2 - 98 = 0 \iff x^2 = 49 \iff x = 7\) (car \(x > 0\)).
Le trinôme \(2x^2 - 98\) est négatif entre les racines \(-7\) et \(7\). Sur \(]0 ; 7]\), \(f'(x) \leq 0\) (la fonction décroît). Sur \([7 ; +\infty[\), \(f'(x) \geq 0\) (la fonction croît). Le minimum est atteint en \(x = 7\).

4. Conclusion :
Le périmètre est minimal pour \(x = 7\) mètres. Puisque \(y = \frac{49}{x}\), on trouve \(y = \frac{49}{7} = 7\) mètres. Le rectangle est donc un carré de côté 7 mètres.