Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction rationnelle $f$ définie par un quotient de deux polynômes sur l'intervalle $]-\infty ; 2[$. L'objectif est de mobiliser les outils fondamentaux de l'analyse en Première Spécialité : résolution d'équations du second degré, calcul de dérivée avec la formule du quotient, étude de signe pour obtenir les variations, et application de la formule de la tangente. La particularité ici réside dans l'intervalle d'étude restreint, ce qui nécessite une attention particulière lors de l'interprétation des racines de la dérivée.

Points de vigilance et notions clés

• Le discriminant : Pour résoudre $f(x)=0$ ou étudier le signe du numérateur, le calcul de $\Delta = b^2 - 4ac$ est indispensable.
• La règle du quotient : La dérivée d'une fonction de la forme $\frac{u}{v}$ est donnée par $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. Une erreur de signe au numérateur est classique.
• L'ensemble de définition : Toujours vérifier si les valeurs trouvées (racines) appartiennent à l'intervalle $]-\infty ; 2[$.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être connue par cœur.

Correction Détaillée

1. Résolution de $f(x) = 0$ :
L'équation $\frac{x^2 - 4x + 8}{x - 2} = 0$ équivaut à $x^2 - 4x + 8 = 0$ (avec $x \neq 2$). Le discriminant du numérateur est $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16$. Puisque $\Delta < 0$, le trinôme ne possède pas de racine réelle. L'équation $f(x) = 0$ n'a donc aucune solution sur l'intervalle considéré.

2. Dérivation et Variations :
a) On pose $u(x) = x^2 - 4x + 8$ donc $u'(x) = 2x - 4$. On pose $v(x) = x - 2$ donc $v'(x) = 1$.
En appliquant $f' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, on obtient :
$f'(x) = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 8)(1)}{(x - 2)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x - 8}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2}$. La formule est démontrée.

b) Pour les variations, étudions le signe de $f'(x)$. Le dénominateur $(x - 2)^2$ est toujours strictement positif sur $]-\infty ; 2[$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui du numérateur $x^2 - 4x = x(x - 4)$. Les racines sont $0$ et $4$. Sur l'intervalle $]-\infty ; 2[$, seule la valeur $0$ nous intéresse. Le trinôme $x^2 - 4x$ est positif à l'extérieur des racines. Ainsi, $f'(x) > 0$ sur $]-\infty ; 0[$ et $f'(x) < 0$ sur $]0 ; 2[$. La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty ; 0]$ puis décroissante sur $[0 ; 2[$. Le maximum est atteint en $x=0$ avec $f(0) = -4$.

3. Équation de la tangente au point d'abscisse 1 :
On calcule $f(1) = \frac{1^2 - 4(1) + 8}{1 - 2} = \frac{5}{-1} = -5$.
Puis $f'(1) = \frac{1^2 - 4(1)}{(1 - 2)^2} = \frac{-3}{1} = -3$.
L'équation est $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$, soit $y = -3(x - 1) - 5$, ce qui donne $y = -3x - 2$.