Analyse de l'énoncé

Cet exercice d'automatismes extrait du sujet Amérique du Nord 2026 balaie les compétences fondamentales attendues en fin de Première Spécialité. Il ne demande pas de justification, ce qui exige une rapidité d'exécution et une grande précision dans le calcul mental ou sur brouillon. Les thèmes abordés incluent le calcul numérique (fractions et puissances), les évolutions (pourcentages), l'étude de fonctions (signe d'un trinôme, lecture graphique d'une fonction affine), les probabilités conditionnelles et le calcul algébrique (développement et équations).

Points de vigilance et notions requises

• Priorités opératoires : Toujours traiter la multiplication avant l'addition (Question 1).
• Évolutions : Savoir que multiplier par \(C_m\) revient à une variation de \((C_m - 1) \times 100\) (Question 3).
• Trinôme du second degré : Le signe de \(a(x-x_1)(x-x_2)\) dépend du signe de \(a\) à l'extérieur des racines (Question 4).
• Probabilités conditionnelles : La formule \(P_M(V) = \frac{\text{Card}(M \cap V)}{\text{Card}(M)}\) est ici la plus efficace (Question 5).
• Puissances : Maîtriser les propriétés \(\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}\) (Question 9).

Guide de résolution détaillé

Question 1 : \(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \times 4 = \frac{1}{2} + \frac{12}{2} = \frac{13}{2}\). Réponse B.

Question 2 : \(10\% \times V_{total} = 150 \implies 0,1 \times V_{total} = 150 \implies V_{total} = 1500\). Réponse B.

Question 3 : \(0,845 - 1 = -0,155\), soit une baisse de \(15,5\%\). Réponse D.

Question 4 : Les racines sont \(-5\) et \(-8\). Le coefficient \(a\) est \(1 > 0\). La parabole est tournée vers le haut : positive à l'extérieur des racines, négative entre elles. Réponse C.

Question 5 : L'univers restreint \(M\) est {S, I, N, G, E}. Les voyelles dans cet ensemble sont {I, E}. Il y a 2 cas favorables sur 5 cas possibles. \(P_M(V) = 2/5\). Réponse B.

Question 6 : L'ordonnée à l'origine est \(30\). Le point \((3, 0)\) appartient à la droite. La pente est \(m = (0 - 30) / (3 - 0) = -10\). Réponse C.

Question 7 : \((x+2)^2 - (1-x)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (1 - 2x + x^2) = x^2 - x^2 + 4x + 2x + 4 - 1 = 6x + 3\). Réponse B.

Question 8 : \(2x - 8 - 2x - 1 = 0 \implies -9 = 0\). C'est impossible. Réponse C.

Question 9 : \(E = \frac{2 \times 3^2}{3^3 \times 2^3} = \frac{1}{3^{3-2} \times 2^{3-1}} = \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{12}\). Réponse B.