Introduction au Sujet 47 - Spécialité Mathématiques

Le sujet 47 de la session 2020 pour la classe de Première spécialité Mathématiques est un excellent test de synthèse. Il balaie un spectre très large du programme officiel, allant de l'analyse fonctionnelle à la géométrie analytique, sans oublier les probabilités et l'algorithmique. Ce sujet se caractérise par un équilibre entre technicité (calcul de dérivées et de racines) et compréhension de modèles concrets (évolution d'un club sportif, bénéfice industriel).

Analyse de l'Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice de 5 points nécessite une grande réactivité. Les thèmes abordés sont :

• Géométrie : Le calcul de la norme d'un vecteur différence exige de bien manipuler les coordonnées : $\vec{u}-\vec{v} = (2; -4)$, d'où une norme de $\sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
• Second degré : L'étude de signe du trinôme $x^2 + 2x + 5$ passe par le calcul du discriminant ($\Delta = -16$). Comme $\Delta < 0$ et $a > 0$, la fonction est strictement positive sur $\mathbb{R}$.
• Trigonométrie : L'équation $\sin(x) = 1/2$ sur $]-\pi ; \pi]$ demande de visualiser le cercle trigonométrique pour ne pas oublier la deuxième solution $5\pi/6$.
• Python & Suites : L'algorithme est une boucle "tant que". Il faut comprendre que la condition de sortie est $u \leq 6$. Le programme renvoie donc le plus petit rang $n$ vérifiant cette condition.
• Exponentielle : L'application des propriétés $e^a \times e^b = e^{a+b}$ permet de simplifier l'expression en $e^{-1}$, soit $1/e$.

Piège à éviter : Dans la question Python, ne confondez pas la valeur du terme $u_n$ et son indice $n$.

Analyse de l'Exercice 2 : Suites et Croissance

On modélise ici la croissance d'un club de handball par une suite géométrique. Avec une hausse annuelle de 5%, le coefficient multiplicateur est $1,05$.

• Notions clés : Identification d'une suite géométrique de raison $q = 1,05$.
• Méthodologie : Pour trouver l'année où le club dépasse 700 adhérents, on résout $416 \times 1,05^n > 700$. Cela peut se faire par tâtonnement à la calculatrice ou par l'utilisation des logarithmes (bien que non exigés en Première).

Analyse de l'Exercice 3 : Optimisation du Bénéfice

C'est l'exercice classique d'application de la dérivation au second degré dans un contexte économique.

• Recette et Bénéfice : La recette est linéaire ($14x$). Le bénéfice $B(x) = R(x) - C(x)$ donne un trinôme du second degré tourné vers le bas ($a = -0,1$).
• Dérivation : $B'(x) = -0,2x + 13,3$. Le bénéfice est maximal lorsque la dérivée s'annule, soit pour $x = 66,5$ kg.
• Conseil : Vérifiez toujours que la valeur trouvée appartient à l'intervalle d'étude $[0 ; 160]$.

Analyse de l'Exercice 4 : Probabilités et Gains

L'exercice propose un schéma de Bernoulli caché derrière un choix d'urnes dépendant d'un dé.

• Arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. On a $P(U) = 2/6 = 1/3$ (pour les faces 1 et 6) et $P(V) = 4/6 = 2/3$.
• Probabilités totales : Pour obtenir la boule rouge, on cumule $P(U \cap R)$ et $P(V \cap R)$.
• Espérance : La variable aléatoire $\mathcal{G}$ prend les valeurs $2$ (gain de 3 - mise de 1) et $-1$ (perte de la mise). L'espérance permet de déterminer si le jeu est équitable ou favorable à l'organisateur.

Conclusion

Ce sujet 47 est complet et formateur. Il demande une bonne maîtrise des outils de calcul (dérivées, racines) mais aussi une capacité d'interprétation des résultats (espérance de gain, seuil de population). Pour réussir, un élève de Première doit particulièrement soigner la rédaction de ses justifications, même si le QCM n'en demande pas.