Introduction à l'algorithmique et au calcul littéral au Brevet

Cet exercice, issu du sujet de Polynésie 2018, constitue une étude croisée entre deux piliers du programme de troisième : l'algorithmique (via le logiciel Scratch) et le calcul littéral (les équations). L'objectif est double : il s'agit d'abord de comprendre comment une suite d'instructions programmées se traduit par un enchaînement d'opérations mathématiques, puis de démontrer que deux structures de calcul en apparence différentes peuvent conduire au même résultat mathématique. Cette compétence de passage du concret (le script) à l'abstrait (l'expression littérale) est l'une des plus valorisées lors de l'examen final.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice propose deux scripts qui s'exécutent de manière coordonnée grâce à l'événement "le nombre a été saisi".

1. Compréhension du flux d'exécution (Question 1)

Lorsqu'Alice choisit le nombre 3, nous devons suivre les étapes de chaque bloc. Pour le Résultat 1, l'algorithme calcule d'abord \(2 \times 3 + 3 = 9\), puis élève ce résultat au carré : \(9^2 = 81\). Pour le Résultat 2, le script suit un chemin différent : il calcule le carré du nombre (\(3^2 = 9\)), le multiplie par 4 (\(4 \times 9 = 36\)), y ajoute 12 fois le nombre de départ (\(12 \times 3 = 36\)), puis ajoute 9. On obtient alors \(36 + 36 + 9 = 81\). On remarque immédiatement que les deux résultats sont identiques, ce qui doit mettre la puce à l'oreille de l'élève pour la suite du raisonnement.

2. Traduction en expressions littérales (Question 2a et 2b)

C'est ici que la rigueur mathématique intervient. Pour la première partie, si on appelle \(x\) le nombre de départ, la variable 'Nombre' devient \(x\). Le bloc 'Résultat 1' effectue \(2x + 3\) puis met ce résultat au carré. L'expression est donc \(R1 = (2x + 3)^2\). Pour la deuxième partie, le script 'Résultat 2' décompose chaque étape : d'abord \(x^2\), puis \(4x^2\), puis \(4x^2 + 12x\), et enfin \(R2 = 4x^2 + 12x + 9\). L'élève attentif reconnaîtra ici la forme développée de l'identité remarquable \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), confirmant que \(R1\) est toujours égal à \(R2\).

3. Résolution d'équation (Question 2c)

La question finale demande de trouver \(x\) tel que \(R2 = 9\). Il faut donc résoudre \(4x^2 + 12x + 9 = 9\). En soustrayant 9 des deux côtés, on obtient \(4x^2 + 12x = 0\). C'est une équation produit nul déguisée. En factorisant par \(4x\), on a \(4x(x + 3) = 0\). Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc \(4x = 0\) ou \(x + 3 = 0\). Les solutions sont \(x = 0\) et \(x = -3\).

Les Pièges à Éviter

Le premier piège est l'oubli des parenthèses lors de la mise au carré dans l'expression de \(R1\). Écrire \(2x+3^2\) est une erreur grave car seule la valeur 3 serait au carré. Un autre piège classique dans Scratch est de confondre le bloc 'mettre à' (affectation) et le bloc 'ajouter à' (incrémentation). Ici, il s'agit principalement d'affectations successives qui modifient la valeur de la variable. Enfin, lors de la résolution d'équation, beaucoup d'élèves oublient la solution nulle (\(x=0\)) en se focalisant uniquement sur la valeur négative.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'écrire le résultat final. Présentez vos calculs sous forme de liste pour la question 1 : 'Étape 1 : ... / Étape 2 : ...'. Pour la question 2c, énoncez clairement la propriété utilisée : 'Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul'. Cette rigueur montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi la logique mathématique sous-jacente.