GRAND ORAL MATHS
Bienvenue à l’Hôtel Infini: complet, mais il reste de la place!
Introduction:
Le mot « infini » est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou
en taille. Il signifie donc littéralement « qui est sans borne ».
En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble infini est un ensemble
qui n'est pas fini, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble.
Dans cette étude, nous allons essayer de voir comment se comporte l’infini dans les ensembles
entiers naturels puis comment il se comporte dans les réels.
I: L’infini dans les entiers naturels
Parlons de l’infini dans les entiers naturels.
Pour essayer de comprendre, prenons un exemple simple afin de s’y représenter :
Prenons l’hôtel de notre ami Hilbert :
Supposons qu'un hôtel possède un nombre infini de chambres, et toutes occupées. Malgré cela,
l'hôtelier peut toujours accueillir un nouveau client.
Oui, vous avez bien entendu, un hôtel hypothétique avec une infinité discrète de chambres. Une
variable discrète est une valeur finie. Il est possible de les énumérer ( » 1, 2, 3,… »). Dès lors on peut
numéroter les chambres : chambre 1, chambre 2, et ce jusqu’à l’infini. Chaque chambre accueille un
seul voyageur.
“Mais Ducoup quel serait l’avantage de cet hôtel ?” vous me demanderez sous vos yeux ébahis.
Imaginons que chaque chambre de notre hôtel infini soit déjà occupée, l’hôtel est donc complet !
Seulement, un nouveau voyageur se présente à l’accueil et souhaite obtenir une chambre.
Mauvaise nouvelle ? Non !
Les propriétés de l’infini vont nous permettre de lui en trouver une. Mais comment procéder ? Le
standardiste a une idée. Il frappe à la chambre 1 et demande à son occupant d’aller s’installer dans la
chambre 2, ensuite il demande à l’occupant de la chambre 2 de s’installer dans la 3 et ainsi de suite.
Chaque client déménage de la chambre N vers la chambre N+1 et, comme il y a un nombre infini de
chambres, il y a une nouvelle chambre pour chaque client. Après ce long procédé, le standardiste,
infatigable, indique au voyageur que la première chambre est à présent libre pour la nuit, il ne reste
qu’à mettre des draps propres pour tout le monde et bonne nuit.
A présent, imaginons que c’est un bus infini, rempli d’un nombre infini dénombrable de voyageurs,
arrive à notre hôtel qui est complet. Notre fidèle standardiste, d’abord perplexe, trouve rapidement
comment loger cette infinité de nouveaux voyageurs !
Notre standardiste demande donc au client de la chambre 1 de déménager vers la chambre 2, au
client de la chambre 2 de déménager vers la 4, à celui de la chambre 3 de déménager vers la 6 et
ainsi de suite. Cette fois, le client de la chambre N déménage vers la chambre 2N. Les chambres
paires sont à présent toutes occupées, laissant toutes les chambres impaires libres pour accueillir les
nouveaux voyageurs. Tout le monde est content, mis à part peut-être le personnel de l’hôtel qui
décidément n’arrête jamais de changer les draps.
Passons maintenant au cas continu, c'est-à-dire l’étude de l’infini dans les nombres réels.
II)Infini dans les réels
Maintenant, nous allons voir si cette question est aussi pertinente pour des ensembles de nombres
continus. Comparons alors deux intervalles. De 0 à 1 et de 1 à +∞. Cela semblerait évident qu’il y ait
plus de nombres réels sur [1;+∞] que sur [0:1]. Nous allons alors essayer de comparer ces deux
intervalles or il est compliqué de les comparer alors que nous ne pouvons pas compter une infinité
de nombres…
MAIS COMMENT FAIRE ALORS ????? haha bonne question
Pour comparer ces intervalles, nous allons créer des paires. Si il n’y a que des paires alors il y
aura la même quantité de nombres dans les deux intervalles car cela veut dire qu’il n’y a pas de
surplus dans celle-ci.
On admet utiliser la fonction inverse 1/x pour procéder à la démarche:
En procédant de la sorte, et en cherchant les images dans [1;+inf[ à partir des antécédents avec [0;1]
on obtient par exemple
f(1)= 1/1=1
f(1/2)= 1/1/2=2
f(1/500)=1/1/500=500
et lim x—>0 (1/x)= + inf
———-> on remarque donc que les antécédents entre [0;1] balayent bien l’intervalle [1;+inf[
Maintenant, nous allons savoir si c’est la même chose dans le sens inverse.
Essayons de savoir si grâce à la fonction inverse, un nombre appartenant à l’intervalle [1;+∞] donne
un nombre de l’intervalle [0;1].
Démontrons alors cela avec le Théorème des Valeurs Intermédiaires:
Étudions la fonction sur l’intervalle [0;1[
Sur [0;1], la fonction est continue car elle est dérivable
De plus, la fonction est strictement décroissante
La lim f(x) en 0= + infini et f(1)=1 donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,
toutes les valeurs comprises entre 1 et +infini ont un unique antécédent entre 0 et 1. Donc nous
avons bien autant d'éléments entre 0 et 1 qu’entre 1 et +infini.
Conclusion:
Pour conclure, on peut donc affirmer avec notre 2ème exemple, que 2 infinis sont égaux.On aurait
alors a=a, dans les nombres réels.
Dans le 1er exemple, le paradoxe de Hilbert nous montre que dans les entiers naturels, 2 infinis sont
égaux , soit a=a, mais aussi que l’infini peut-être égal à 2 fois cet infini, soit a=2a car un nombre de
places infini peut être égal à deux fois un nombre infini de places.
De plus, ce qui est aussi marrant, c’est que le seul nombre qui pourrait être solution de l’équation
a=a ou a=2a est 0. Incroyable, non ?