Je vais vous parler d’une vieille légende grec. Tout commence durant l’antiquité lorsque le fameux héros grec Achille se lança le défi de battre une tortue à la course à pied.
Même avec sa faiblesse au talon il était réputé être bon coureur.
A l’annonce de cette course, le philosophe Zénon d’élée affirma que le coureur ne pourrait jamais rattraper le reptile si la tortue avait de l’avance sur l’athlète, peu importe leur vitesse de déplacement.
Cette légende fut nommée le paradoxe de la tortue. Il a été utilisé pour remettre en question la notion de mouvement et la possibilité de l'achèvement d'une tâche infinie.
Grâce à ce dernier on remet aussi en question le raisonnement mathématique avec un raisonnement intuitif, qui ferait appel à un bon sens collectif.
Notre Questionnement
Nous pouvons nous demander comment la somme des étapes de la course peut donner une limite finie..
Déroulement de l'Exposé
Je vais tout d’abord, essayer de vous faire comprendre le paradoxe de la tortue dans un second temps mettre en place la suite géométrique. Puis dans un dernier temps nous mettrons en oeuvre la somme de cette suite et sa limite
Le Paradoxe Expliqué
Au début de la course, il y a une certaine distance entre Achille et la tortue. Lorsqu'Achille atteint le point de départ de la tortue, celle-ci aura avancé. Ainsi, une nouvelle course débute, la tortue ayant à nouveau de l’avance sur Achille. Ce cycle se répète indéfiniment, avec la distance entre Achille et la tortue qui change à chaque nouveau parcours.
Il y a donc une répétition de course. Si on répète cette expérience indéfiniment, la tortue aura toujours de l’avance sur Achille même si cet écart va diminuer, on obtiendra un écart proche de zéro.
La Modélisation Mathématique : Suite Géométrique
Dans notre cas on a la suite géométrique suivante DT/A= D0 x (VT/VA)n. En claire cette suite permet de calculer la distance que la tortue va parcourir à chaque nouvelle course pendant le temps que Achille arrive au point de départ de cette dernière
A l’aide du schéma, on voit que la distance entre chaque séquence de course diminue. De plus, on voit que la diminution des distances dépend à chaque fois de la raison de la suite qui est VT/VA.
Pour la déterminer cette suite, on va prendre la distance qui sépare la tortue d’achille, on va la diviser par la vitesse du coureur pour avoir le temps qu’il va mettre pour parcourir chaque étape. Ensuite on va multiplier par la vitesse de la tortue pour obtenir la distance qui va séparer les deux coureur à la 2 ème étape. En répétant n fois cette expérience, On obtient donc la suite DT/A à la n-ième étape
On voit donc que la distance entre achille et la tortue dépend de la vitesse du reptile divisé par la vitesse de l’athlète
Vt =vitesse tortue et VA= vitesse achille
ce que l’on veut démontrer c’est que en faisant une addition d’une infinité de course Achille va arriver ou non au niveau de la tortue
Somme de la Suite et Limite Finie
Pour poursuivre notre explication, nous allons donc nous intéresser à la somme de cette suite.
D0x(1-qn)/(1-q)
pour vérifier si la tortue va être rattrapé ou non par Achille, nous allons faire la limite de la somme.
Sa limite est égale à D0x VA/VA-VT
En prenant des valeurs numérique bateau (ou lambda) pour VA=10m.s-1 et VT=1 m.s-1 et la distance initiale D0= 100m
En mettant ces valeurs dans la limite, on obtient environ 111 mètres. Donc on en déduit qu’il va être au niveau de la tortue en 11.1 secondes.
Conclusion
Nous avons donc à l'aide de ce Paradoxe créer une suite géométrique qui permet de définir la distance parcourue par la tortue en fonction du temps que met achille à parcourir la course précédente. Après avoir fait cette étape nous nous sommes intéressés à sa somme car cela nous a permis d’établir la suite qui modélise l’intégralité des petites courses, c'est-à-dire la distance que va finalement parcourir Achille. Ensuite nous nous sommes posés la question de savoir si Achille allait dépasser la tortue, pour s’y faire nous avons fait la limite de cette somme, et le résultat obtenu fut fini. Nous voyons donc qu’une somme infinie peut avoir une limite finie !!! Mais nous pouvons nous demander pourquoi Zénon a t il affirmé cela
Ouverture : Le Point de Vue de Zénon
Qu’est ce que zénon n’a pas pris en compte
On n’a pas besoin des valeurs numériques pour dire que le paradoxe est résolu.