Grand Oral : Comment représenter des grandeurs à variations exponentielles ?
Introduction
Selon vous, quel est le point commun entre la croissance d’une population, l'échelle de Richter, le niveau d’intensité sonore et le pH de l’eau ?
C’est que ce sont des grandeurs qui augmentent de façon exponentielle.
Représenter de telles variations grâce à une échelle linéaire sur un graphique est donc extrêmement compliqué. Par exemple, imaginez que vous souhaitez représenter la taille de différentes galaxies sur un même graphique. Si vous utilisez une échelle linéaire classique, vous vous retrouverez avec une représentation qui montrera les galaxies les plus grandes, tandis que les plus petites seront à peine visibles. Cela peut rendre la comparaison entre les galaxies, notamment les plus petites, difficile.
On peut donc se demander comment faire pour pouvoir les représenter sur un même graphique.
Pour ce faire, nous allons tout d'abord voir un exemple pour laquelle une échelle linéaire est inexploitable, puis comment transformer la fonction exponentielle en fonction linéaire et enfin quels sont les effets graphiques de cette nouvelle échelle.
I - Exemple inexploitable
Tenez, si on reprend notre exemple des galaxies, mais qu’on veut comparer la différence de taille des différents corps célestes présents dans l’univers (une planète, un satellite, une galaxie, une autre galaxie, etc…) Regardez ce graphique n°1, ici comme indiqué, nous pouvons voir la galaxie Alcyonée mais que pouvons nous dire de notre planète, la Terre ? Ou encore du soleil ? Ou même du système solaire entier ? Je vous le demande ?
*réponse du jury*
En effet, on ne peut rien en dire car on ne les voit même pas ! Si on y fait très attention on peut voir que ce sont des tout petits points, mais nous ne pouvons pas savoir leurs tailles et encore moins les comparer entre elles.
En effet, nous pouvons voir qu’entre chaque graduation de notre échelle, il y a le même écart qui est de 1,81 année lumière soit 1,71×1016 mètres. Avec une telle échelle, il est impossible de représenter les objets qui sont plus petits que cette grandeur, et donc impossible de comparer les différents objets célestes.
II - Comment la fonction logarithme règle-t-elle le problème ?
Pour résoudre ce problème, nous pouvons avoir recours à la fonction logarithme. En effet, ce que nous voudrions, c’est avoir une échelle qui donne à la fois des informations sur les petites grandeurs, et sur les grandes. Il faudrait que les graduations du début ne représentent pas la même longueur que les graduations de la fin, afin d’augmenter artificiellement la taille des petits objets, et de diminuer la taille des grands objets.
La combinaison des fonctions logarithme et exponentielle permet de réaliser ce type d’échelle. En effet, cette première permet de transformer une fonction exponentielle en fonction linéaire. Pour que ça soit plus clair, voici donc une représentation simplifiée de notre précédent graphique avec uniquement Alcyonée. Sur les deux graphiques, nous pouvons voir que sa hauteur maximale est atteinte en a. Or sur le graphique à échelle linéaire, la taille réelle que nous pouvons noter T est calculée grâce à a * échelle, tandis que sur notre graphique avec une échelle logarithmique, T est obtenue en effectuant eln(10²) * a.
En effet, si le dessin est une unité plus grande, notre a va se transformer en a+1. Alors du côté de notre échelle linéaire, le calcul de notre Taille réelle sera (a+1) * e, soit a * e + e et donc au final on remarque que cela nous donne T+e (ici e=échelle).
En revanche, du côté de notre échelle logarithmique, notre Taille réelle va donc se calculer eln(10²) * (a+1) donc eln(10²) * a x eln(10²) soit 10² x eln(10²) * a et donc 10² * T, ce qui est complètement différent du T+e de l’échelle linéaire.
III - Quels sont les effets graphiques de cette nouvelle échelle ?
Reprenons notre graphique n°1, nous ne pouvons donc toujours pas voir les différences entre la Terre, le Soleil ou le système solaire. Par contre, si on regarde la figure 3, on peut tout à fait distinguer les différentes tailles des corps célestes distinctement. Vous l’aurez deviné, on a appliqué la fonction logarithme à la fonction exponentielle qui nous donnait la taille des corps célestes ce qui nous donne cette fonction linéaire sur laquelle on peut aisément comparer la taille de la Terre, du système solaire ou encore de la galaxie Alcyonée tout ça en un seul et même graphique.
En revanche, sur ce graphique si on regarde les graduations, chaque graduation est multipliée par 102.
IV- Conclusion
En conclusion, les échelles logarithmiques sont des outils très utilisés dans les sciences pour représenter des quantités, des grandeurs qui varient allant de l'extrêmement petit à l'extrêmement grand. En effet, en utilisant une échelle logarithmique plutôt qu'une échelle linéaire, il devient possible de représenter des valeurs extrêmement petites et des valeurs extrêmement grandes sur un même graphique, ce qui permet de visualiser plus facilement les relations entre les différentes grandeurs.