Grand Oral - Spécialité Mathématiques : Comment maximiser ses chances de gagner au Monopoly grâce aux probabilités ?

✈️ Introduction et présentation du jeu

Le Monopoly est un jeu de plateau où les joueurs déplacent un pion sur un circuit de 40 cases à l’aide de deux dés. L’objectif est de ruiner ses adversaires en leur faisant payer des loyers sur les propriétés qu’on possède. À chaque tour, on lance les dés, on avance, on applique les effets de la case (achat, carte, impôt, prison, etc.).

Mais une stratégie optimale ne peut pas reposer uniquement sur la chance. En analysant les probabilités de passage sur chaque case, on peut déterminer les emplacements les plus rentables à acheter, et donc maximiser ses chances de gagner.

🍀 I. Probabilités des dés : quelles cases a-t-on le plus de chances d’atteindre ?

Le joueur lance deux dés classiques à 6 faces. Il y a donc 36 combinaisons possibles. Certaines sommes apparaissent plus fréquemment que d’autres. Voici la répartition des probabilités :

• 2 : (1,1) → 1/36 ≈ 2,78 %

• 3 : (1,2) et (2,1) → 2/36 ≈ 5,56 %

• 4 : 3/36 ≈ 8,33 %

• 5 : 4/36 ≈ 11,11 %

• 6 : 5/36 ≈ 13,89 %

• 7 : 6/36 → 16,67 % (la plus probable)

• 8 : 5/36 ≈ 13,89 %

• 9 : 4/36 ≈ 11,11 %

• 10 : 3/36 ≈ 8,33 %

• 11 : 2/36 ≈ 5,56 %

• 12 : 1/36 ≈ 2,78 %

🔹 Cela signifie que si on part de la case 0 (“Départ”), on atteindra plus souvent la case 7 (“Chance”), ou la case 10 (“Prison”) que les extrémités du plateau.

📊 II. Quelles sont les cases les plus fréquentées ?

1. Simulation Monte Carlo et comportement réel du jeu

En théorie, si on n’avait que les dés, la probabilité de tomber sur chaque case serait à peu près équilibrée. Mais avec les cartes Chance, Caisse de Communauté, la prison, et les doubles, certaines cases deviennent bien plus fréquentes.

On peut simuler le jeu via une expérience de Monte Carlo : on fait jouer un ordinateur pendant 1 million de tours. Le résultat donne les cases suivantes comme les plus fréquentées :

2. Comment expliquer ces résultats ? La chaîne de Markov

On modélise les déplacements par une chaîne de Markov : 

 1. Qu’est-ce qu’une chaîne de Markov ?

C’est un modèle mathématique qui permet de prédire l’évolution d’un système qui passe d’un état à un autre avec certaines probabilités.

- Chaque case est un état, 

- La matrice de transition indique la probabilité de passer d’une case à une autre, 

- On la note M, c’est une matrice 40x40 (car il y a 40 cases).

Chaque case M(i,j) indique la probabilité d’aller de la case i à la case j en un tour.

Exemple : - Depuis la case 7 (Chance), il y a 1/16 de chances d’aller directement en 0 (Départ), 1/16 vers 10 (Prison), etc., selon le contenu des cartes. - Depuis la case 30 (“Allez en prison”), on va automatiquement en 10.

🌐 À chaque tour, on multiplie un vecteur (qui indique où on est) par la matrice M pour obtenir les probabilités d’être ailleurs au tour suivant.

Quand on fait cette multiplication des centaines de fois, les résultats se stabilisent : c’est ce qu’on appelle la distribution stationnaire.

C’est cette distribution qui indique les cases les plus fréquentées à long terme.

💸 III. Conclusion : comment gagner au Monopoly avec les maths ?

Les données statistiques et la théorie des chaînes de Markov nous permettent de déduire :

• Les cases à 7+ de la prison (rues oranges et rouges) sont les plus fréquentées,

• Investir dans les propriétés oranges (Rue Lecourbe, Avenue de Belleville, Avenue de New York) est très rentable,

• Les gares sont également des endroits stratégiques car elles sont ciblées par des cartes Chance,

• À l’inverse, les cases vertes ou bleues foncées sont chères mais rarement visées.

🔎 Conclusion à dire à l’oral : > « Le Monopoly n’est pas qu’un jeu de hasard. En comprenant les probabilités de déplacement grâce aux chaînes de Markov et aux simulations de Monte Carlo, on peut détecter les cases les plus fréquentées et ainsi investir stratégiquement pour augmenter ses chances de victoire. »