De quelle manière, les mathématiques permettent-elle de construire et d'interpréter des sondages ?
Bonjour, je m'appelle Fiona et je suis en terminale MATHS-HGGSP. J'ai choisi ce sujet parce que je me suis toujours interrogée sur la nature et le fonctionnement des sondages.
Les statistiques et les résultats de sondage font partie de notre quotidien, ils analysent le moral des ménages, l'évolution du chômage, la popularité des hommes politiques, l'inflation etc. Souvent nous ne connaissons pas l'origine de ces chiffres. Comment sont-ils élaborés, quelle importance leur accorder et doit-on leur faire confiance ?
Les mathématiques jouent un rôle fondamental dans la construction et l'interprétation des sondages, en fournissant des outils nécessaires pour concevoir des échantillons représentatifs, analyser les données recueillies et tirer des conclusions valables. Les statistiques ne doivent pas être sous-estimée, car elles permettent d'évaluer la fiabilité des résultats obtenus et de quantifier l'incertitude.
LE PRINCIPE D'UN SONDAGE :
Loi des grands nombres est une loi fondamentale en théorie des probabilités et des statistiques. Elle permet de faire des prévisions relativement proche de la réalité.
C'est un outil visant à connaitre et à anticiper les décisions à partir d'échantillons réduits. Leur usage est déterminant dans divers domaines allant de la politique, à l'économie, à la consommation en passant par les questions sociétales. De nombreux phénomènes sociétaux sont modélisés par des tirages aléatoires parce que leurs mécanismes sont inconnus ou trop complexes (variable aléatoire ).
Un sondage est une enquête statistique basée sur l'échantillonnage d'une petite portion de personnes pour obtenir des résultats sur la population globale. L'objectif d'un sondage est de recueillir des données reflétant les opinions, ou les caractéristiques de l'ensemble de la population. Par exemple, dans le cadre d'élections, l'objectif est d'identifier les intentions de vote des citoyens. Tout d'abord, je vais commencer par vous expliquer les étapes de la conception d'un sondage et enfin j'aborderai par une analyse des éléments sur la fiabilité et les incertitudes des sondages.
I - CONCEPTION D'UN SONDAGE :
L'ECHANTILLONNAGE
L'ECHANTILLONNAGE est une étape clé consistant à définir la population cible et à concevoir un échantillon représentatif. Pour cela les « sondeurs » utilisent les statistiques descriptives (variance, moyenne, écart-type, étendue, médiane) pour déterminer la taille de l'échantillon nécessaire.
Calcul d'un échantillon de taille n : n= (z² x p(1-p))/e² avec
z => z-score (coefficient dépendant du niveau de confiance souhaité) appelé aussi Score standard est une mesure statistique décrivant la position d'une valeur donnée par rapport à la moyenne d'un groupe de valeur.
Z = (Χ -μ)/σ, elle permet d'évaluer la précision des résultats d'un sondage et de déterminer le degré de confiance avec lequel une observation est éloignée de la moyenne.
p => estimation de la proportion de la population. Elle permet de déterminer la représentativité des résultats obtenus à partir d'un échantillon. Si ce dernier est trop petit, les résultats sont peu fiables et si il est trop grand, cela ne représente pas la population initiale.
e => marge d'erreur acceptable, c'est une étendue des résultats possibles si l'enquête était répétée avec un nouvel échantillon. Elle permet d'évaluer le niveau de fiabilité des résultats obtenus. Plus la marge d'erreur est faible, plus les résultats sont précis et fiables et à contrario, la marge d'erreur élevée entraîne une grande variabilité et une incertitude.
On utilise généralement un échantillon aléatoire signifiant que chaque membre de la population a une chance égale d'être sélectionnée. Grâce à ce panel le sondage reflète fidèlement la diversité de la population.
COLLECTE ET ANALYSE DES DONNEES
Une fois l'échantillon défini, la collecte des données s'effectue par différents moyens (questionnaires en ligne, interviews téléphoniques ou enquêtes en face à face). Ici encore, les mathématiques interviennent dans la formulation des questions afin d'éviter les biais. Ainsi, des questions mal formulées entraînent des réponses erronées, affectant la validité des résultats, d'où l'importance de formuler des questions claires et neutres pour obtenir des données précises.
L'analyse statistique intervient pour interpréter les résultats. Les techniques statistiques (tests d'hypothèse et analyses de variance) déterminent si les observations sont significativement différentes ou non. Par exemple, un test de khi-deux peut être utilisé pour évaluer si la distribution des réponses varie selon des sous-groupes, comme l'âge ou le sexe, fournissant ainsi des informations sur des tendances et des corrélations au sein de la population.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% d'une fréquence d'un échantillon de taille n est l'intervalle centré autour de la proportion théorique p tel que la fréquence observée f qui se trouve dans l'intervalle avec une probabilité égale à 0,95
[p- 1/√n ;p+ 1/√n]. Cet intervalle à 95 % signifie avec certitude que les résultats sont proches de la réalité tout en gardant une marge d'erreur acceptable. Ce concept essentiel permet d'évaluer la fiabilité des sondages.
[f-1/√n ; f+1/√n] ou f => fréquence du caractère calculé dans un échantillon de taille n. Dans l'interprétation d'un sondage publiée on part de la fréquence observée « f » pour estimer la proportion réelle « p » dans la population. La fréquence observée est une approximation d'un intervalle de confiance pour estimer « p ».
La marge d'erreur est une mesure statistique permettant de quantifier l'incertitude à un sondage ou à une estimation basée sur un échantillon.
Etude d'un cas de participation électorale
On peut citer l'étude d'un cas de participation électorale en France. Chaque personne correspond à une épreuve de Bernoulli dont le succès est « voter ou non » de probabilité p.
On répète cette expérience 1 000 fois de manière identique et indépendante.
Cette situation peut donc être modélisée par une loi binomiale de paramètres n=1 000 et p= 0,52
Car la participation électorale en France est estimée à environ 52 %.
L'espérance représente la moyenne des résultats attendues : np (1000x0.52= 520)
La variance mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance: np (1-p) =>(520 x 1-0.52=249.6)
L'écart-type indique la dispersion des résultats : V variance ≈ 15,8.
II - FIABILITES ET INCERTITUDE D'UN SONDAGE :
Enfin, l'interprétation des résultats d'un sondage nécessite la compréhension des concepts mathématiques et statistiques qui fournissent des résultats de manière claire et quantifiés, en évitant les erreurs d'interprétations. La visualisation des données joue un rôle clé dans cette étape, car elle permet de présenter les résultats de manière intuitive, renforçant ainsi la compréhension du public.
Néanmoins, une marge d'incertitude existe, elle est représentée par la taille de l'échantillon, plus l'échantillon est grand plus les résultats sont fiables ce qui diminue la marge d'erreur. Les opinions peuvent évoluer et donc modifier les résultats d'un sondage fait à un moment donné.
En conclusion, les mathématiques sont au cœur de la méthodologie des sondages, de leur conception à leur interprétation. Elles fournissent les outils nécessaires pour garantir la représentativité des échantillons, analyser les données et communiquer les résultats de manière claire et précise. La rigueur mathématique est donc indispensable pour assurer la validité et la fiabilité des conclusions tirées des sondages. Cependant ils doivent être interprétés avec prudence en tenant compte de la dynamique temporelle des opinions.