Comment réussir tous ses lancers francs au basketball grâce à la Physique ?
Bonjour, je m'appelle Eva, j'ai 18 ans et je suis en terminale avec les spécialités mathématiques et physique-chimie, que j'ai souhaité combiner pour mon oral. En parallèle, je pratique le basketball depuis 6 ans, j’ai donc commencé bien plus tard que la plupart de mes coéquipières qui ont commencé dès leur plus jeune âge. Et je dois admettre que l’oral que je vais vous présenter aujourd’hui m’aurait été très utile au début de mon apprentissage, lorsque j’avais du mal à dribbler et encore plus à marquer un lancer franc. Grâce à ma persévérance, j'ai quand même réussi à intégrer le cinq majeur et à devenir capitaine de mon équipe de basket. Malgré tout, les lancers francs restent un défi pour moi, car évidement ils ne rentrent pas toujours.
Alors pour rappel un lancer Franc c'est un lancer réalisé à une distance modérée du panier et qui est accordé après une faute, donc il n’y a pas de défenseur et ce n’est pas non très loin du panier donc en théorie ça devrait être un panier facile à mettre.
On pourrait croire que c'est du hasard parce que pour la majorité des joueurs le ratio de réussite est entre 50 et 60% mais dans le même temps on a des joueurs professionnels comme Stéphane curry qui ont des taux de réussite à 90% avec certaines saisons à 100% comme en 2019. En partant de ce constat, on s'imagine bien qu'il y a une explication rationnelle et qu'il faut tirer avec un certain angle et avec une certaine vitesse pour espérer marquer son lancer franc et c'est pour cela que je me suis demandé comment faire pour réussir tous ces lancer francs grâce à la physique.
Nous allons considérer qu’un lancer franc est réussi lorsque l’on réalise un switch, c'est à dire que le ballon rentre parfaitement au milieu sans toucher ni la planche ni le panier et on va modéliser cette situation en notant C le centre du panier de basket. Pour avoir une situation précise j'ai récupéré les données officielles de jeu donc on a un panier qui est situé à une hauteur de 3m05 et un tir qui s'effectue à 5 mètres du panier puisque la ligne des lancé francs est à 4 mètres 80 et il est d'usage de se reculer un peu pour être sûr de ne pas mordre la ligne car si c’est le cas et que le tir rentre, le panier est refusé. Quant à la taille du joueur je n’avais pas envie de faire de jaloux en choisissant un joueur en particulier donc j'ai choisi ma taille environ 1m70 et le ballon part de mes mains à peu près à 1m90. Nous allons donc étudier la trajectoire du ballon pour définir l'angle et la vitesse idéale pour tirer.
Pour ce faire on va se placer dans un repère orthonormé avec M le centre d'inertie du ballon qui est aux coordonnées 0-0 car on place le repère à 1m90 du sol là où mon ballon quitte mes mains et on sait désormais que le point C est aux coordonnées 5 et 3,05-1,90=1,15.
Pour nos calculs on va réaliser l’étude dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on considère qu’une fois lancé, le ballon n’est soumis qu’à son propre poids. On neglige donc toute force de frottements de l’air sur le ballon.
Modélisation des équations horaires du mouvement
La première étape va être de modéliser les équations horaires du mouvement pour cela on va repartir des conditions initiales en modélisant dans un premier temps le vecteur accélération. Vu les conditions que j'ai énoncées on a le droit d'appliquer la seconde loi de Newton qui nous dit que la somme des forces appliquées est égale à la masse fois l'accélération.
De plus on sait que le ballon n’est soumis qu'à son poids et le poids c'est la masse fois la constante gravitationnelle g.
On se retrouve donc avec m x a = m x g on peut alors simplifié par m et on obtient donc que le vecteur accélération est égal à la constante gravitationnelle.
La constante gravitationnelle ayant pour coordonnées gx=0 et gy=-g car son vecteur est toujours modélisé vers le centre de la terre, on retrouve donc que le vecteur accélération a pour coordonner ax = 0 et ay = - g.
Maintenant pour retrouver les coordonnées du vecteur vitesse on va réaliser la primitive de a en fonction de T car par définition a=dv/dt. Mais avant nous allons poser des condition initiales pour pouvoir plus tard intégrer les constantes d’intégration.
Pour ça nous allons nous placer dans le triangle rectangle formé par le vecteur v0 et nous allons utiliser la trigonométrie pour trouver les conditions initiales. Mon but est donc d’exprimer V0x et V0y en fonction de V0 et de alpha. Pour ça je dois avouer que j’utilise la fameuse technique CAH SOH TOA, pas très élégant je vous l’accorde mais très pratique à retenir, c’est un moyen mémo technique pour se rappeler que le cosinus d’un angle est égale au quotient du côté adjacent sur l’hypoténuse ici on a donc cos(alpha)=V0x/V0
Même chose, le sinus d’un angle est égale au quotient du côté opposé cette fois sur l’hypoténuse ici on a donc sin(alpha)=V0y/V0. J’ai presque trouvé les conditions initiales, il me suffit maintenant d’isoler V0x et V0y dans chacune des équations en multipliant par V0 des deux côtés. Je me retrouve ainsi avec V0x=cos(alpha) x V0 et V0y = sin(alpha) x V0.
Je garde ce résultat en tête pendant que je primitive les coordonnées du vecteur accélération : la primitive de 0 c'est une constante que je vais appeler Cx et la primitive de - g en fonction de t c'est – g.t plus une constante que je vais appeler Cy. Cx et Cy sont les fameuses constante d’intégration et ici Cx = V0x donc Cx = cos(alpha) x V0, même chose pour Cy qui est égal à V0y d’où Cy= sin(alpha) x V0.
On a donc les coordonnées du vecteur vitesse qui sont Vx = cos(alpha) x V0 et
Vy = -g.t + sin(alpha) x V0
Maintenant qu'on a les coordonnées du vecteur vitesse il nous suffit de faire la primitive de ses coordonnées pour enfin retrouver les équations horaires du mouvement car par définition V = dOM/dt. Cette fois les condition initiales sont assez simples car j’ai placé l’origine de mon repère sur le centre M du ballon donc ici x0=0 car je ne suis pas avancé par rapport au repère et y0=0 car mon ballon n’est pas à une certaine hauteur par rapport au repère. Mais par exemple si j’avais placé le repère à mes pieds, y0 aurait était égal à H la hauteur entre mes pied et le centre du ballon.
Donc on reprend les coordonnées de v et on primitive, pour VX on a cos(alpha).V0 qui est une constante donc sa primitive sera cos(alpha). V0.t + Cx’
Et pour Vy on a aussi sin(alpha).V0 qui est une constante donc sa primitive sera sin(alpha). V0.t + Cy’ et la primitive de -g.t sera -1/2.g.t²
Ici c’est pratique car Cx’=x0=0 et Cy’=y0=0 comme on l’a vu tout à l’heure. Donc les équation horaires du mouvement sont :
X = cos(alpha). V0.t
Y = -1/2.g.t² + sin(alpha). V0.t
Équation de la trajectoire
C'est un petit peu indigeste mais maintenant qu'on a les équations horaires l'objectif c'est de trouver l'équation de la trajectoire pour pouvoir la modéliser.
On cherche donc à avoir y en fonction de x. Pour cela on va d’abord isoler t dans la première équation puis on va injecter la valeur de t trouvée dans la seconde équation. Pour isoler t dans la première équation on divise des deux côtes par cos(alpha).V0 et on obtient t = x/(cos(alpha).V0)
Et maintenant on remplace t par cette expression dans la deuxième équation et on se retrouve avec un polynôme du second degré
y(X) = - G / (2 V0² cos²(alpha)). x² + tan(alpha).x
Et ce polynôme du second degré nous permet de modéliser la trajectoire du ballon qui ressemble à ça.
Application numérique
A partir de là on peut jouer avec les paramètres pour savoir à quelle vitesse tirer selon le lancer qu'on choisit ou quel angle choisir selon la vitesse à laquelle on tire par exemple si on prend un angle alpha = 50 degrés il nous suffit de remplacer les valeurs pour trouver V0 tel que le point M du ballon passe par le point C du panier on isole donc v0 dans l’équation de la trajectoire donc V0 = racine carré de (Xc².g / ((tan(alpha).Xc – Yc).2.cos²(alpha)))
On fait l’application numérique en remplaçant g par 9,80, alpha par 50 degrés, Xc par 5 et yc par 1,15 on résout et on trouve que si l'on choisit l'angle 50 degrés, la vitesse initiale devrait être de 7,9 m/s pour réaliser un switch et on peut le faire pour tous les angles il suffit de changer les paramètres par exemple pour l’angle 60 degrés j'ai calculé et V0 devrait être à 8,0 m/s donc si vous jouez au basket je vous conseille de ramener le rapporteur avec vous pour calculer l'angle qu'il faut pour mettre le panier.