La trompette de Gabriel : un objet de volume fini et de surface infinie ?
Bonjour, je m'appelle Eva, j'ai 18 ans et je suis en terminale avec les spécialités mathématiques et physique-chimie et aujourd’hui je vais vous présenter mon grand oral de mathématiques.
Les mathématiques sont souvent perçu comme rationnel et logique. Mais elles deviennent parfois tellement abstraites qu’elles peuvent nous apparaitre paradoxal. C’est le cas de l’exemple de la trompette de Gabriel, un objet qui peut nous sembler impossible à concevoir puisqu’il est connu pour avoir un volume fini mais une surface infinie.
Mais comment démontrer ce paradoxe ?
C’est ce que je vais m’efforcer de vous expliquer dans cet oral en vous parlant dans un premier temps de comment la trompette de Gabriel a été introduite historiquement avant d’expliquer comment la construire puis d’introduire la notion d’intégral qui est au centre de cette démonstration.
Enfin j’utiliserai cet outil pour faire les démonstrations sur le volume et la surface avant de conclure.
Introduction historique de la trompette de Gabriel
Tout d’abord, la trompette de Gabriel est un objet mathématique inventé par Torricelli vers 1640 et elle a fait beaucoup réfléchir les savants de l'époque sur les questions qui touchent à l'infini notamment Descartes et Pascal.
Ne comprenant pas comment un tel paradoxe puisse exister les mathématiciens de l’époque ont lié cet objet au divin en l’appelant trompette de Gabriel en référence à la trompette dans laquelle souffle l’archange Gabriel pour annoncer le jour du jugement dernier.
De cette trompette née aussi le paradoxe du peintre. Qu'est-ce que le paradoxe du peintre ? C’est le fait que si on avait un tel objet on pourrait remplir justement la trompette du Gabriel avec un volume fini de peinture mais par contre on ne pourrait jamais peindre sa surface avec un avec un volume fini de peinture, il faudrait quantité infini de peinture pour pouvoir peindre sa surface.
Construction de la trompette de Gabriel
Donc comment est-ce qu'on construit la trompette de Gabriel en fait ce qu'on fait c'est qu'on prend la courbe de la fonction 1/x qui est continue et on la garde uniquement de 1 à plus infinie et après on va effectuer une rotation autour de l’axe des abscisses et on obtient effectivement une sorte de trompette et c'est ça la trompette de Gabriel. On peut donc dire qu’on obtient une surface de révolution à savoir une figure géométrique tridimensionnelle obtenue en faisant tourner une courbe plane autour d'un axe donné dans l'espace.
La notion d’intégrale
Nous allons maintenant s'intéresser à ce qu’est une intégrale parce que c'est l'outil qui va nous permettre de faire ces différentes démonstrations, donc l'intégrale est l'air algébrique entre la courbe d'une fonction et l’axe des abscisses.
Dans la pratique on la calcule avec la primitive en b - la primitive en a qui sont les bornes de l’intervalle qu’on a choisi.
Cependant on l’appelle intégral mais on devrait plutôt l’appeler intégrale de Riemann parce que c’est en réalité Riemann qui introduit cette intégrale, ou du moins l'intégrale qu'on étudie en terminale.
Donc comment Riemann calcul-t-il cette aire ? Il découpe l'aire sous la courbe en une infinité de petits rectangles infinitésimaux, donc très très très fin, infiniment fin même. Et quand on va additionner l’aire de ces petits rectangles on va pouvoir connaître l'aire sous la courbe.
Alors, pourquoi est-ce qu’on a pris des rectangles ? Parce que d’abord ça s'y prête bien et aussi parce que l’aire d’un rectangle est très simple à calculer c'est la longueur fois largeur.
D’ailleurs on retrouve bien cette idée dans la manière d’écrire une intégrale, puisque son symbole est un S stylisé, symbolisant en fait la somme, et le f(x) dx représente l'aire d'un tout petit rectangle infinitésimale.
Calcul du volume de la trompette de Gabriel
Maintenant appliquons justement l’outil d'intégrale a notre trompette de Gabriel pour connaître justement le volume et la surface.
Pour le volume ce qu'on va faire c’est qu’on ne va pas devoir additionner des petits rectangles cette fois, on va devoir additionner des cylindres infiniment fins.
Alors, pourquoi des cylindres ? Parce que quand on fait la même transformation à notre petit rectangle qu'on a faite à la courbe 1/x pour avoir la trompette de Gabriel on va justement obtenir un cylindre infiniment fin.
C’est donc la somme, donc l’intégrale de tous les volumes de ces cylindre qui va nous donner le volume totale de la trompette de Gabriel.
La formule du volume pour une surface de révolution, qui je le rappelle est une figure géométrique tridimensionnelle obtenue en faisant tourner une courbe plane autour d'un axe donné dans l'espace est :
V = π ∫[a,b] (f(x))2 dx
On remplace donc ici f(x) par la fonction par 1/x, ce qui nous donne :
V = π ∫[1, +∞[ (1/x)2 dx = π ∫[1, +∞[ 1/x2 dx
Il faut donc maintenant calculer la primitive de 1/x2 moi j’ai une petite technique c’est que j’écris ça comme si c’était x-2 et la par définition la primitive de xn = x(n+1)/(n+1) = x(-2+1)/(-2+1) = x(-1)/-1 = -x(-1) = -1/x et quand on le calcul ça nous fait pi.
Nous avons donc bien un volume fini qui est égal à pi de peinture avec lequel on peut remplir la trompette de Gabriel.
Calcul de la surface de la trompette de Gabriel
Maintenant on va faire pareil pour la surface, ce qui s’avère un plus complexe parce qu'on va devoir utiliser une section de cône. Pourquoi une section de cône ? Tout simplement parce que la surface générée en tournant la courbe 1/x autour de l’axe des abscisses peut être décomposée en petits éléments infinitésimaux, qui peuvent être approximés par des sections coniques. Mais ces "sections" sont en réalité des bandes infinitésimales de la surface du cône formé par la rotation, mais visualiser ces sections de cônes dans le contexte de la trompette de Gabriel peut être un peu abstrait car ils ne sont pas des objets tangibles mais plutôt des éléments conceptuels utilisés dans les calculs mathématiques.
Pour une courbe y=f(x) qui est tournée autour de l'axe des x entre x=a et x=b, la surface S de la surface de révolution est calculée par la formule :
S = 2π ∫[a,b] f(x) √(1 + (f'(x))2) dx
En l’appliquant à notre fonction 1/x on obtient donc avec f’(x)=-1/x2 :
S = 2π ∫[1, +∞[ (1/x) √(1 + (-1/x2)2) dx = 2π ∫[1, +∞[ (1/x) √(1 + 1/x4) dx
Mais à ce moment-là de la démonstration il faut être astucieux et au lieu de partir dans des calculs d’intégrale impossible, il faut avoir d’idée qu’on peut la minorer donc c'est à dire trouver quelque chose de plus petit et on peut la minorer notamment par l'intégrale de 1 à plus l'infini de 1/x. Pourquoi ?
Or cette l’intégrale de 1 sur x elle diverge vers plus l'infini et nous on a une surface qui est plus grande que l'intégrale de 1 à plus infinie de 1 sur x donc forcément on a une surface qui est elle aussi diverge vers plus l'infini. Pourquoi ?
Interprétation dans le monde réel et applications
Maintenant prenons un peu de recul par rapport à tous ces calculs et essayons justement de raccrocher ce paradoxe au monde réel.
Pour répondre concrètement au paradoxe du peintre, la trompette de Gabriel devenant de plus en plus fine, si on veut mettre un volume fini de peinture à l’intérieur on peut parce qu’à un certain moment, les particules qui composent la peinture vont devenir trop grosse et ne pourront plus passer dans la section de la trompette ce qui va entrainer un bouchon et on va ainsi pouvoir remplir la trompette.
Mais on n'a pas cette contrainte pour la surface, parce qu’on ne sera jamais limité.
Ce paradoxe est aussi applicable en informatique car la compression de données consiste à représenter des informations de manière plus compacte tout en préservant leur contenu. Le paradoxe de la trompette de Gabriel illustre donc dans ce cas-là comment une quantité infinie d'information peut être "contenue" dans un espace fini, inspirant des algorithmes de compression qui tentent de maximiser l'efficacité du stockage.
Conclusion
Finalement a réussi à démontrer grâce aux intégrales qu'il existe bien un objet ayant un volume fini et une surface infinie et que la trompette de Gabriel en était un parfait exemple. En géométrie et en calcul, ce paradoxe est utilisé pour enseigner la différence entre la mesure d'aire et de volume et pour montrer comment des objets géométriques peuvent se comporter de manière contre-intuitive comme un plan tout simplement, qui lui a une surface infinie mais un volumes de zéro ; mais qui, je trouve, est un peu moins paradoxal que l’exemple de la trompette de Gabriel.