Comment prévoir les hauteurs d’eau des marées à l’aide d’une fonction trigonométrique ?

Nous fêtons cette année les 80 ans du D-day. Le 6 juin 1944, des troupes américaines sont arrivées sur les plages de Normandie pour tenter une libération de la France. Depuis, cette date est restée gravée dans les mémoires. Mais savez-vous pourquoi elle a été choisie. L’opération overlord était initialement prévue le 5 juin pour des conditions de marée favorables. Mais en raison de conditions météorologiques peu favorables, elle a été déplacée au lendemain. C’est donc à 6 heures du matin le 6 juin que les alliés débarquent, à marée mi-montante. Une marée basse aurait mis trop à découvert les soldats tandis qu’une marée haute cachait des pièges disposés par les allemands. La prévision des marées a donc été un phénomène décisif dans le débarquement. Comment prévoir les hauteurs d’eau des marées à l’aide d’une fonction trigonométrique ? Avant de répondre à cette question nous allons évoquer du lexique utile au marin. Puis nous étudierons de façon simplifiée le fonctionnement des marées. Dans un dernier temps, nous calculerons les hauteurs d’eau à Grandcamp, une des plages du débarquement avec une fonction sinusoïdale ainsi qu’avec la méthode des douzièmes.

I- Petit lexique du marin :

Afin de mieux comprendre le monde des marins, je vous propose d’étudier le vocabulaire utilisé dans ce domaine. Sur une journée la mer monte, garde un niveau maximum puis redescend. C’est la marée. On y observe différentes phases :

La première est le flux ou le montant. C’est la phase où la mer monte pendant environ 6 heures et au bout duquel son niveau atteint un maximum appelé pleine mer.

Ensuite, il y a l’étale de pleine mer. Pendant plusieurs minutes le niveau maximum de la mer est conservé et au milieu de ce temps s’appelle l’heure de pleine mer.

Le reflux ou le perdant est le moment où la mer descend pendant 6 heures et atteint une hauteur minimale appelée basse mer.

L’étale de basse mer est donc le niveau minimum est conservé pendant plusieurs minutes et comme pour la pleine mer, le milieu de ce moment s’appelle l’heure de basse mer.

Et le cycle recommence. Entre deux pleines mers le temps écoulé est d'environ de 12 h 25 mn. En presque 25 heures il y a donc à peu près deux pleines mers et deux basses mer. On appelle marnage la différence de hauteur d’eau entre la pleine mer et la basse mer consécutives. C’est en quelque sorte l’amplitude de la marée. Lorsqu’une marée monte très haut on appelle cela marée de vive eau et à l’inverse quand la marée descend très bas on l’appelle marée de basse eau.

II- Explication simplifiée du fonctionnement de la marée

Maintenant que vous parlez marin, je souhaite vous expliquer comment fonctionne la marée. Une marée dure 6 heures car cela correspond au quart de tour de la terre sur elle-même. La marée est le produit de deux forces. D’abord la force gravitationnelle de la lune et du soleil sur la mer et la croûte terrestre et ensuite la force centrifuge de la Terre en rotation. La force centrifuge a pour effet de faire s’éloigner les corps en mouvement de leur centre de rotation. C’est le même principe que dans une essoreuse à salade. En tournant , un bourrelet se forme avec cette force centrifuge. Il est aux antipodes de la lune. C’est une marée haute. De l'autre côté, l’eau est attirée par la lune et les océans forment un second bourrelet. Cela fait qu’une seconde marée est présente, de l’autre côté de la première. Le soleil exerce lui aussi une force d’attraction sur la Terre mais moins forte car il est plus loin. Parlons maintenant des coefficients de marée. Quand la lune et le soleil sont alignés, leurs forces se cumulent et on assiste à des marées de vives eaux. Si la lune et le soleil forment un angle de 90°, la marée sera de mortes eaux. Cela explique pourquoi les coefficients de marée sont plus forts aux équinoxes de printemps et d’hiver.

III- A)

Comment calculer des hauteurs d’eau ? A l’aide d’un outil appelé cercle trigonométrique utilisé pour étudier les fonctions sinus ou cosinus. Il est utile pour se repérer et résoudre plus visuellement des équations assez complexes. Il donne aussi des indications pour la résolution des équations comme le fait que sinus soit compris entre -1 et 1. Les marées étant assimilables à des ondes, lorsqu’on les as représentées sous forme d’équations, on a utilisé une fonction trigonométrique : le sinus. La grandeur associée à cela est modélisée par une fonction sinusoïdale de forme t → A sin(ω(t + ϕ)) + b. L’oméga représente les pulsations, c’est-à-dire la valeur de la vitesse de rotation qu'aurait un système en rotation de même fréquence. C’est comme une fréquence en radians. Notre but ici est de prendre un exemple concret de marée, de lever les inconnus A, b, oméga et phi pour pouvoir connaître à n’importe quel moment de la journée la hauteur d’eau en fonction du temps. Pour cela on se place sur la plage de Grandcamp Maisy, et on relève la hauteur de la mer pour chaque heure le 1er juin 2024. On obtient un tableau de valeurs allant de minuit à minuit le lendemain. Grâce à ces variations, je peux construire à la main ou à l’aide d’un tableur la courbe de notre marée ce jour-là. J'obtiens cette courbe : AD_4nXcTLad48h9lEtT9qHrfm-5u8rQUHXqH_ySWcRrVIyjfciSNo2ahVrUgcHa-xCQcs8mg_jtgHqJ8O_nhXqQ6wjFwktfWG61t1isKIkgxEg-zxQT2NRh1Or3NvBGXqTFiJGklt0t6S5uX3JY_a47bzWQkdMF_?key=dDNNrSlZQFlphxRxX48FVA

Je sais qu’un sinus est compris entre -1 et 1. En dissociant mon équation en deux cas, pour 1 et -1, j’obtiens deux équations très simples à résoudre. Par substitution, je trouve que A=1,8 et b=4,3. Connaissant ces valeurs, je peux les remplacer dans mon équation énoncée plus haut. Donc on a t → 1,8.sin(ω(t + ϕ)) + 4,3. Ensuite, on sait que la pulsation, l’oméga, est une fréquence. Comme j’étudie mon équation sur une période, je vais utiliser la formule qui lie la période et la fréquence, soit la période est égale à l’inverse de la fréquence. Par lecture graphique, je sais que la période vaut 12 heures. Cela nous donne 1/ω = 12. Le cercle trigonométrique a un diamètre de 2π, donc rajouter 2π à l’équation ne change pas le résultat sur le cercle. Après avoir fait un tour, on retrouve notre réponse. Je résous et je trouve que la pulsation vaut 2π/12. C’est aussi une valeur qu’on peut remplacer dans notre équation de base. A présent, elle ressemble à ça : t → 1,8.sin(2π/12.(t + ϕ)) + 4,3 . Notre dernière inconnue est Phi. Phi représente le déphasage. En simple, le déphasage est le décalage entre la fonction sinus de base et notre fonction. On calcule la moitié du temps d’une marée qui vaut 3,5h. Donc lorsque l’on se décale de 3,5 heures en arrière pour revenir au 0 de notre marée. Donc on a pour déphasage 3,5 soit Phi égale à -3,5. On peut donc compléter notre formule avec notre dernière inconnue t → 1,8.sin(2π/13.(t - 3,5)) + 4,3 . On a donc notre fonction finale qui nous permet de calculer la hauteur d’eau en fonction du temps. Et lorsque que je modélise cela sur un logiciel de géométrie dynamique, j'obtiens une courbe remarquablement similaire à la marée ce jour-là. Les décalages que l’on pourrait observer sont dûs à la force de la lune sur les océans comme expliqué plus tôt. A présent je peux avoir une approximation plutôt juste de la marée demain donc a plus 24 heures. Je rentre 24 dans ma fonction, j’obtiens 3,3 mètres. Quand je vérifie avec les prévisions sur marée.info, j’ai les mêmes approximations à deux heures près.

III- B)

Le marin ne peut néanmoins se permettre de calculer des fonctions sinusoïdales lorsqu’il est en mer. On peut alors utiliser la méthode des douzièmes. Pour cela, je commence par calculer les données dont j’aurais besoin. D’abord les heures de marnage puis les douzièmes de marnage. Le marnage du 1er juin à Grandcamp est de 4 mètres. Je divise ce nombre par douze pour obtenir un douzièmes de marnage. Je trouve 0,33. Le marnage va alors nous servir à trouver les hauteurs de marée. Maintenant, je calcule la différence entre l’heure de pleine mer (8h) et l’heure de basse mer (2,3h). Je trouve 5,7 heures. Je la divise par 6 car une marée monte en 6 heures et j’obtiens 0,95, mon heure de marée. Pour obtenir mon heure 1, je rajoute à mon heure 0, la marée basse, l’heure marée que je viens de calculer et ainsi de suite pour les 6 prochaines heures. Afin de connaître la hauteur d’eau correspondant à mon heure, je rajoute mon douzième de marnage à ma hauteur à marée basse en suivant la règle des douzièmes. C’est-à-dire 1/12 pour l’heure 1 et 6, 2/12 pour l’heure 2 et 5 et 3/12 pour l’heure 3 et 4. De cette façon, je peux connaître la hauteur d’eau à n’importe quel moment de la marée.

Conclusion

Finalement, regarder les conditions météo, prévoir une station de radio fiable, prévenir un proche à terre, toutes ces étapes sont indispensables à une bonne sortie en mer et recommandées par l’association des sauveteurs en mer. A tout cela, il ne faut pas oublier de rajouter la prévision de la marée et ses coefficients. En effet, savoir calculer la hauteur d’eau est une précieuse indication qui empêche le marin de casser la quille du bateau en rentrant au port. Les mathématiques sont un outil qui est utile à la prédiction des marées. Néanmoins d’autres outils, plus faciles d’utilisation, existent. Il ne faut pas oublier qu’en mer comme sur Terre, être informé c’est être en sécurité.