Sur la terre toutes les espèces vivantes cherchent à survivre tout en devant cohabiter entre elles. Nous nous demanderons alors :
COMMENT LES EQUATION DE LOKTA VOLTERRA PERMETTENT-ELLES DE MODELISER UN SYSTEME PROIE PREDATEUR ?
La lutte pour la vie
Il y a près d’un siècle le mathématicien italien Vito Volterra a élaboré un modèle décrivant l’évolution de deux populations dans un même écosystème, l’une étant la proie de l’autre. Ce modèle est fondamental en biologie.
Des sardines et des requins...
La découverte de Volterra commence par une histoire de pêche! Après la première guerre mondiale, de 1914 à 1918, le zoologiste Umberto d’Anconna étudia les effets de la guerre sur la pêche de la sardine dans les ports de la mer Adriatique. Le résultat de cette étude surprenait : alors que pendant la guerre la pêche à la sardine avait diminué, la part de celles-ci dans les captures, qui aurait dû augmenter, avait pourtant baissé au profit de leurs prédateurs dont les requins, ce qui est paradoxal. D’Aconna demanda à son beau-père, Vito Volterra, qui était un des grands mathématiciens de l’époque, s’il pouvait trouver une explication mathématique à ce phénomène.
Comment cohabitent les espèces?
L’objectif de Volterra était de découvrir les fonctions S(t) et R(t) représentant respectivement les populations de sardines et de requins au temps t. Les variations de ces populations sont décrites par ce ce qu’on appelle en mathématiques les « dérivées » ou « taux de variation instantanée » des fonctions recherchées S(t) et R(t). On note ces taux de variation respectivement S'(t) et R'(t). Ce sont ces taux de variation que Volterra commença par évaluer.
Les sardines
Pour la population de sardines, Volterra identifia deux facteurs principaux provoquant la variation S'(t) de la population.
Un facteur positif: la variation est proportionnelle à la population elle-même. Cela se traduit par le terme aS(t), où a est le taux de croissance des sardines en l’absence de requins.
Un facteur négatif: la possibilité pour les sardines d’être dévorées augmente avec le nombre de requins et de sardines en présence. La variation, négative, est proportionnelle au produit des deux populations. Cela se traduit par le terme –bS(t)R(t) où b représente en quelque sorte la voracité des requins.
Globalement la variation de la population des sardines en présence des requins se traduit par l’équation S'(t) = a S(t) – b S(t) R(t).
Les requins
Pour la population des requins la variation R'(t) dépend aussi de deux facteurs principaux.
Un facteur négatif: s’il n’y avait pas de sardines pour se nourrir, la population des requins déclinerait proportionnellement à la population elle-même, ce qui se traduit par le terme R'(t)=–cR(t) où c est un facteur de mortalité dû à la famine.
Un facteur positif: la présence de sardines, nourriture des requins, tend à faire augmenter leur population selon le terme d S(t) R (t) où d représente en quelque sorte l’apport des sardines.
La variation de la population des requins est alors : R‘(t) = –c R(t) + d S(t)R(t)
L’évolution globale des populations de sardines et de requins est donc donnée par les deux équations suivantes dites « de Lotka-Volterra », car découvertes indépendamment par Alfred James Lotka (1880-1949) qui travaillait sur les interactions de plantes et d’herbivores:
S'(t) = a S (t) – b S(t) R (t)
R‘(t) = –c R(t) + d S(t) R(t)
En mathématiques ces équations sont dites « différentielles » car elles incluent le temps comme variable unique, les fonctions S(t) et R(t) et leurs fonctions dérivées S'(t) et R'(t). Les solutions de ces équations, que l’on représente facilement avec un logiciel de calcul symbolique ou avec Excel, sont les fonctions S(t) et R(t) que Volterra recherchait pour comprendre le problème soumis par d’Anconna. Les paramètres a, b, c et d sont obtenus par observation. Ici, les valeurs de a, b, c et d sont arbitraires.
L’évolution des prédateurs et des proies
Les proies augmentent d’abord ce qui, en conséquence augmente le nombre des prédateurs. À un certain niveau le nombre croissant de prédateurs entraîne une diminution des proies, ce qui, à son tour, implique une diminution des prédateurs. Lorsque la population de requins aura suffisamment diminué, celle des sardines pourra croître de nouveau. C’est un nouveau cycle d’un certain équilibre dynamique.
Le modèle est-il fiable?
Le modèle de Volterra est évidemment une interprétation simplifiée de la réalité. et présente certaines limites qui doivent être prises en compte lors de son utilisation et de son interprétation.
Par exemple :
Le modèle de Lotka-Volterra suppose un certain nombre de facteurs idéaux, tels qu'une population de proies illimitée et une interaction directe entre une seule espèce de proie et une seule espèce de prédateur. En réalité, les écosystèmes sont bien plus complexes, avec des interactions multiples et une variété de facteurs environnementaux qui peuvent influencer les populations.
Malgré ces limites, le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra reste un outil précieux pour comprendre les interactions entre les populations de proies et de prédateurs. Cependant, il est important d'utiliser avec prudence et de tenir compte des spécificités de l'écosystème étudié pour éviter des conclusions simplistes ou trop générales.