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En quoi le nombre d’or fait-il parti intégrante de notre vie?

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Intro

Je vais vous parler du nombre d’or, le fameux qu’on retrouve partout, présent dans les mathématiques, dans la nature, dans l’homme, dans des constructions millénaire ou encore dans l’art et la musique, on l’a forcément tous croisé sans savoir qu’il existait ; certains le voient partout et d’autres non. Le nombre d’or, également appelé phi peut être retrouvé dans les livres religieux. Signature divine ou simple outil de construction, le nombre d'or génère toutes sortes de mythes. Le nombre d’or est un rapport de proportion entre deux élément valant a peu près 1,618. D’un point de vue mathématiques c'est un nombre irrationnel qui est une des solution de l’équation x2-x-1, cette solution est égale à 1+√5 / 2 qui est la valeur exacte du nombre d’or. Mais comme je vais vous parler principalement de son application je vais prendre sa forme la plus connue et la plus utilisée 1,618. Je vais donc dans une première partie vous parler du nombre d’or dans la géométrie. Puis dans une seconde partie je vais vous parler du nombre d’or dans le corps humain. Et dans une troisième je vais vous parler de la suite de Fibonacci.

I)Le nombre d’or dans la géométrie

Pour commencer nous allons nous intéresser au nombre d’or dans la géométrie. Il existe une forme géométrique qui inclus naturellement le nombre d’or, c’est le pentagone. Pas besoin de choisir soi-même les proportions car dans un pentagone la dimension d’un côté vaut 1 et celle d’une diagonale vaut 1,618. Et si l’on relis tous les points du pentagone on obtient une étoile a 5 branches qui fait également apparaître le nombre d’or car un autre pentagone se forme, et ce à l’infini si on continuait de tracer les diagonales. Donc le chiffre d’or apparaît plusieurs fois dans un pentagone et dans son étoile a 5 branches.

De manière plus concrète on pourrait parler de l’Architecture.

Les mathématiciens et architectes de la Grèce antique utilisaient régulièrement le rectangle d’or dans les arts en général. Ils l’utilisaient car de tous les rectangles c’est celui basé sur le nombre d’or qui était le plus harmonieux alors on pourrait supposer qu’il s’agit d'une histoire de goût.

Mais si l'on mettait 6 rectangle différent côte à côte et qu'on demandait à des gens d’en choisir un ils choisiraient tous le rectangle basé sur le nombre d'or car il est plus joli que les autres, plus harmonieux et plus agréable à regarder. Le plus petit côté de ce rectangle fait 1 et son plus grand cote fait 1,618. Il était considéré comme critère de beauté, tout ce qui était construit sur la base du rectangle d’or était quoi qu’il arrive beau et harmonieux et aujourd’hui encore on utilise le rectangle d’or dans nos constructions.

II)Le nombre d’or dans le corps humain et la nature

Dans cette deuxième partie nous allons nous intéresser au nombre d’or dans le corps humain. Pour commencer je vais prendre une œuvre très connue de Léonard de Vinci que l’on appelle l’homme de Vitruve dans lequel on retrouve le nombre d’or, en divisant la distance du nombril au pied par la distance de la tête au nombril on obtient 1,618.

On pourrait parler aussi de la différence de longueur entre l'avant-bras et la main qui est égal au nombre d'or et cela vaut aussi pour les trois phalanges.

Toutes ces mesures varient évidemment d’un individu à un autre et ne sont donc pas présentes chez tous les êtres humains. Par exemple elles n’apparaissent pas chez moi.

Mais aussi pour notre ADN, le rapport entre la longueur et la largeur d'un cycle complet de la double hélice de la molécule d’ADN est égal à ce nombre magique.

Montrer schéma de la spirale d’or et expliquer

Cette spirale se retrouve dans énormément d’éléments de la nature, comme la coquille d’un escargot, une oreille humaine, ou encore dans la vue aérienne d’un cyclone ou même la voie lactée.

on trouve deux types de spirales dans la pâquerette et le tournesol. Ces spirales sont superposées dans les 2 fleurs : on compte 34 spirales dans le sens des aiguilles d'une montre et 21 spirales dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Or n34/21 ≈ 1,61905... ce qui tend vers le Nombre d'Or.

En comptant le nombre de spirales dans un sens puis dans l’autre de la pomme de pin, on tombe invariablement sur deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et jamais sur d’autres nombres.

III)La suite de Fibonacci

Pour finir, nous allons étudier la suite de Fibonacci, un mathématicien italien du début du XIIIe siècle. En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite infinie d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent, elle s’écrit sous la forme de Fn+2 = Fn+1 + Fn. Cette suite a été crée par ce dernier pour répondre au fameux problème récréatif de la population de lapins. Grâce à cette suite, on peut visualiser la 1ere apparitions du nombre d’or, en divisant un nombre par celui qui le précède on obtient une approximation de plus en plus précise a mesure qu’on s’éloigne dans les termes de la suite. Par exemple si l’on divise 1 par 1 on obtient 1 alors que si l’on divise 8 par 5 on obtient 1,6 soit une décimale de précision et si l’on divise 89 par 55 onobtient 1,618 soit 3 chiffres après la virgule de précision.

Je vais vous le démontrer :

On prend la forme Fn+2 = Fn+1 + Fn de la suite de Fibonacci, et on pose la suite Un=Fn+1/Fn

On divise la suite de Fibonacci par Fn+1 (la suite est strictement positive, ce qui est démontrable par une récurrence double), ce qui donne Fn+2/Fn+1=Fn+1/Fn+1+Fn/Fn+1 → Un+1=1+1/Un

On pose Un+1 = f(Un), soit f(x)=1+1/x

On calcule la limite de cette suite :

f(l)=l

Soit ici l=1+1/l→ l2-l-1=0

Δ=5 → x1= 1-√5/2 et x2= 1+√5/2 or on a vu que la suite était strictement croissante et positive donc seul x1 est solution de l’équation, et on l’a vu précédemment ce résultat est la valeur exacte du nombre d’or

On pourrait aussi relier la suite de Fibonacci avec le Triangle de pascal. En effet en additionnant les coefficients en diagonale du triangle de Pascal on obtient encore des coefficients de la suite de Fibonacci et donc en divisant ses coefficients successifs on obtient une approximation du nombre d’or.

Conclusion

A travers cet exposé on a pu voir que ce nombre est stupéfiant, on le retrouve dans toutes sortes de domaines comme les mathématiques et le corps humain mais encore dans l’art et la nature. Ce n’est pas le seul nombre a avoir cette caractéristique, d’autre nombre sont tous aussi fascinants comme Pi, le premier exemple de nombre irrationnel qui nous vient a l’esprit.

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