Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice extrait du sujet 0 de 2025 pour la spécialité mathématiques en classe de Première se concentre sur l'exploitation statistique et probabiliste d'un tableau à double entrée. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à extraire des données pertinentes d'un effectif global (1 000 voitures) et à calculer des fréquences simples ainsi que des fréquences conditionnelles. Cette compétence est fondamentale car elle prépare à l'étude plus formelle des probabilités conditionnelles et des arbres pondérés.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il est crucial de bien lire les intitulés des lignes et des colonnes. Un point de vigilance majeur réside dans la distinction entre les types de pourcentages demandés :

• Pourcentage global : Le dénominateur est l'effectif total (1 000).
• Pourcentage partiel (conditionnel) : Le dénominateur est restreint à une sous-population (par exemple, uniquement les voitures françaises ou uniquement les blanches).

L'élève doit également savoir que la somme des effectifs partiels d'une ligne ou d'une colonne doit toujours correspondre au total affiché en bout de ligne ou de colonne.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Détermination de x : La ligne des voitures françaises indique un total de 750 voitures. On a donc l'équation : $150 + x + 400 = 750$. En isolant $x$, on obtient $x = 750 - 550 = 200$. La variable $x$ représente donc le nombre de voitures de marque française et de couleur noire.

2. Pourcentage de voitures noires : On regarde le total de la colonne 'Noire', qui est de 250. Sur un stock total de 1 000 voitures, la proportion est $\frac{250}{1000} = 0,25$, soit 25%.

3. Pourcentage de voitures noires étrangères : L'intersection de la ligne 'Étrangère' et de la colonne 'Noire' donne un effectif de 50. Le pourcentage par rapport au stock total est $\frac{50}{1000} = 0,05$, soit 5%.

4. Pourcentage de voitures blanches parmi les françaises : Ici, l'univers de référence est restreint aux 750 voitures françaises. On calcule $\frac{150}{750} = \frac{15}{75} = \frac{1}{5} = 0,20$, soit 20%.

5. Pourcentage de voitures françaises parmi les blanches : Ici, l'univers est restreint aux 250 voitures blanches. On calcule $\frac{150}{250} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,60$, soit 60%.

6. Aide à la décision (Alice vs Benoît) :

• Alice : Elle choisit parmi les 750 voitures françaises. Celles qui ne sont pas rouges sont les blanches (150) et les noires (200), soit 350 voitures. Sa probabilité de gagner est $P_A = \frac{350}{750} = \frac{35}{75} = \frac{7}{15} \approx 0,467$.
• Benoît : Il choisit parmi les 250 voitures blanches. Les voitures étrangères sont au nombre de 100. Sa probabilité de gagner est $P_B = \frac{100}{250} = \frac{10}{25} = 0,4 = \frac{6}{15}$.

Comme $\frac{7}{15} > \frac{6}{15}$, c'est Alice qui a le plus de chances de remporter 1 euro.