Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution d'une population (croissance de champignons) à l'aide de deux types de suites numériques : les suites arithmétiques dans la Partie A et les suites géométriques dans la Partie B. L'objectif est de comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle, une compétence fondamentale du programme de Première Enseignement Spécifique.
Points de vigilance
- L'unité de temps : Dans la Partie A, $n$ représente des périodes de 10 minutes. Dans la Partie B, $n$ représente des périodes de 40 minutes. La conversion est cruciale.
- Nature de la suite : Pour justifier une suite arithmétique, on montre que $u_{n+1} - u_n$ est constant. Pour une suite géométrique, on montre que $v_{n+1} / v_n$ est constant.
- Allure graphique : Une suite arithmétique est représentée par des points alignés, tandis qu'une suite géométrique de raison $q > 1$ présente une croissance accélérée (convexe).
Correction Détaillée
Partie A : Modèle arithmétique
1. On observe que $u_1 - u_0 = 125 - 100 = 25$, $u_2 - u_1 = 150 - 125 = 25$ et $u_3 - u_2 = 175 - 150 = 25$. La différence est constante ($d = 25$), donc la suite est arithmétique.
2. Deux heures correspondent à 120 minutes. Comme chaque période $n$ dure 10 minutes, on cherche $u_{12}$.
$u_{12} = u_0 + 12 \times 25 = 100 + 300 = 400$.
Le nombre initial était 100. $400 = 4 \times 100$, la population a donc bien quadruplé.
Partie B : Modèle géométrique
1. On calcule les rapports : $v_1 / v_0 = 200/100 = 2$, $v_2 / v_1 = 400/200 = 2$, $v_3 / v_2 = 800/400 = 2$. Le rapport est constant ($q = 2$), la suite est géométrique.
2. La suite est géométrique avec une raison $q=2 > 1$. La croissance est exponentielle. Le Graphique 1 est le seul présentant cette allure convexe caractéristique.
3. Quatre heures correspondent à 240 minutes. Soit $n = 240 / 40 = 6$ périodes.
$v_6 = v_0 \times q^6 = 100 \times 2^6 = 100 \times 64 = 6400$ champignons.
4. Cinq heures correspondent à 300 minutes, soit $n = 300 / 40 = 7,5$ périodes.
Calculons $v_7 = 100 \times 2^7 = 12800$ et $v_8 = 100 \times 2^8 = 25600$.
La valeur 18 000 se situe bien entre $v_7$ et $v_8$. Plus précisément, $100 \times 2^{7,5} \approx 18 102$. Le modèle est donc très cohérent avec l'observation.