Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des ressources pour la session 2025, est un classique incontournable du programme de Spécialité Mathématiques en Première. Il traite des probabilités conditionnelles à travers une situation concrète : la gestion des inscriptions à une fête du sport. L'objectif est d'utiliser un arbre pondéré pour modéliser une situation, puis d'appliquer la formule des probabilités totales afin de valider ou d'infirmer une intuition (probabilité inverse).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il est crucial de ne pas confondre la probabilité d'une intersection $P(A \cap B)$ et la probabilité conditionnelle $P_A(B)$. Les termes clés comme 'parmi' ou 'sachant que' indiquent une conditionnelle. Le candidat doit également maîtriser la formule des probabilités totales : dans une partition de l'univers, la probabilité d'un événement $L$ est la somme des probabilités des intersections de $L$ avec chaque élément de la partition.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Lecture de l'énoncé :

• a. On nous dit que parmi ceux qui ont choisi la randonnée ($E$), 5% sont licenciés ($L$). Donc $P_E(L) = 0,05$.
• b. Parmi ceux qui ont choisi le cross ($\bar{E}$), 40% sont licenciés. Donc $P_{\bar{E}}(L) = 0,40$.

2. Arbre de probabilité : L'arbre commence par deux branches : $E$ ($0,90$) et $\bar{E}$ ($0,10$). De chaque branche partent deux sous-branches vers $L$ et $\bar{L}$. Pour la branche $E$, on a $L$ ($0,05$) et $\bar{L}$ ($0,95$). Pour la branche $\bar{E}$, on a $L$ ($0,40$) et $\bar{L}$ ($0,60$).

3. Calculs :

• a. $P(\bar{E} \cap L) = P(\bar{E}) \times P_{\bar{E}}(L) = 0,10 \times 0,40 = 0,04$.
• b. Selon la formule des probabilités totales : $P(L) = P(E \cap L) + P(\bar{E} \cap L)$. On a $P(E \cap L) = 0,90 \times 0,05 = 0,045$. Ainsi, $P(L) = 0,045 + 0,04 = 0,085$, soit $8,5\%$.

4. Intuition du journaliste : On cherche $P_L(\bar{E})$. Par définition : $P_L(\bar{E}) = \frac{P(L \cap \bar{E})}{P(L)} = \frac{0,04}{0,085} \approx 0,47$. Comme $0,47 < 0,50$, la probabilité est de $47\%$. L'intuition du journaliste, qui prédisait une valeur largement supérieure à $50\%$, est donc incorrecte.