Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un classique de l'étude des fonctions polynômes du second degré en classe de Première Technologique. L'objectif est de manipuler les trois formes d'une fonction quadratique : la forme développée, la forme factorisée et la forme canonique. Chaque question guide l'élève vers une meilleure compréhension des propriétés algébriques et graphiques de la parabole.
Points de vigilance et notions de cours
- Développement et factorisation : Savoir passer d'une écriture à l'autre est essentiel. La double distributivité et les identités remarquables sont les outils clés.
- Équation produit nul : Pour trouver les antécédents de 0, on utilise toujours la forme factorisée.
- Extremum (Maximum/Minimum) : La forme canonique permet de lire directement les coordonnées du sommet de la parabole.
- Signe d'un carré : Il est crucial de se rappeler qu'un carré est toujours positif ou nul dans les réels.
Correction détaillée
1. Calcul des images :
Pour $x = 0$, $f(0) = -0^2 + 6(0) - 5 = -5$.
Pour $x = 3$, $f(3) = -3^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
2. Vérification de la forme factorisée :
Développons $(x - 1)(5 - x) = 5x - x^2 - 5 + x = -x^2 + 6x - 5$. L'égalité est vérifiée.
3. Antécédents de 0 :
On résout $f(x) = 0$, soit $(x - 1)(5 - x) = 0$. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ ou $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$. Les antécédents sont 1 et 5.
4. Forme canonique :
Développons $4 - (x - 3)^2 = 4 - (x^2 - 6x + 9) = 4 - x^2 + 6x - 9 = -x^2 + 6x - 5$. L'égalité est vérifiée.
5. Maximum de la fonction :
On cherche si $f(x) > 4$. D'après la forme canonique, $f(x) = 4 - (x - 3)^2$. Or, $(x - 3)^2 \geq 0$, donc $-(x - 3)^2 \leq 0$. En ajoutant 4, on obtient $4 - (x - 3)^2 \leq 4$. Il est donc impossible que $f(x) > 4$. Le maximum de la fonction est 4, atteint pour $x = 3$.
Allure de la courbe
La courbe est une parabole tournée vers le bas (car le coefficient de $x^2$ est négatif). Elle passe par les points (0 ; -5), (1 ; 0), (5 ; 0) et admet pour sommet le point S(3 ; 4).