Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré $h(x) = -x^3 + 30x^2 - 108x - 490$ définie sur l'intervalle $[0 ; 26]$. Il mobilise des compétences fondamentales du programme de Première Spécialité : la dérivation, l'interprétation graphique et l'étude des variations via le signe de la dérivée (second degré).

1. Calcul de la fonction dérivée

Pour dériver $h(x)$, on applique les formules usuelles de dérivation d'une puissance ($x^n \rightarrow nx^{n-1}$) et d'une constante.
On obtient :
$h'(x) = -3x^2 + 30 \times 2x - 108 = -3x^2 + 60x - 108$.

2. Identification graphique et justification

L'étude de $h'(x)$ montre qu'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. Sa représentation graphique est donc une parabole.

• $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_3$ sont des paraboles, tandis que $\mathcal{C}_2$ représente une fonction du troisième degré. Donc $\mathcal{C} = \mathcal{C}_2$.
• Le coefficient dominant de $h'(x)$ est $a = -3$. La parabole $\mathcal{C}'$ est donc tournée vers le bas. Par ailleurs, $h'(0) = -108$, ce qui correspond à l'ordonnée à l'origine de $\mathcal{C}_1$. Ainsi, $\mathcal{C}' = \mathcal{C}_1$.

3. Équation de la tangente au point d'abscisse 0

L'équation de la tangente $(T)$ est donnée par la formule : $y = h'(0)(x - 0) + h(0)$.
Calculons les valeurs :

• $h(0) = -490$
• $h'(0) = -108$

4. Signe de la dérivée et variations

Pour étudier le signe de $h'(x) = -3x^2 + 60x - 108$, on cherche ses racines en résolvant $-3x^2 + 60x - 108 = 0$.
En simplifiant par $-3$, on obtient $x^2 - 20x + 36 = 0$.
Le discriminant est $\Delta = (-20)^2 - 4(1)(36) = 400 - 144 = 256 = 16^2$.
Les racines sont $x_1 = \frac{20 - 16}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{20 + 16}{2} = 18$.
Le coefficient $a$ étant négatif, $h'(x)$ est négative à l'extérieur des racines et positive entre elles.
Tableau de variations : Sur $[0 ; 2]$, $h$ est décroissante ; sur $[2 ; 18]$, $h$ est croissante ; sur $[18 ; 26]$, $h$ est décroissante.