Analyse de l'exercice sur les probabilités conditionnelles

Cet exercice issu du sujet Amérique du Nord 2021 est un classique incontournable du programme de Mathématiques en Première Spécialité. Il traite de la production industrielle et du contrôle qualité, un contexte idéal pour manipuler les probabilités conditionnelles et les arbres pondérés.

Notions de cours et points de vigilance

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :

• Construction d'un arbre pondéré : Savoir traduire des fréquences ou des pourcentages en probabilités décimales.
• Intersection d'évènements : Comprendre que $P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D)$. C'est le produit des probabilités sur un chemin donné.
• Loi des probabilités totales : Savoir partitionner l'univers pour calculer la probabilité d'un évènement final (ici le défaut $D$) en sommant les probabilités des différents chemins y menant.
• Inversion de conditionnement : Utiliser la formule $P_D(A) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)}$ pour remonter à la source d'un problème (calculer la probabilité de l'origine sachant le résultat).

Attention : Une erreur fréquente consiste à confondre $P_A(D)$ (donnée de l'énoncé : 2 % des aiguilles du site A...) avec $P(A \cap D)$ (le calcul final de la probabilité d'être du site A ET d'avoir un défaut).

Guide de résolution détaillé

1. Probabilité de A : L'énoncé précise que le site A produit les trois-quarts des aiguilles. Ainsi, $P(A) = \frac{3}{4} = 0,75$.

2. Arbre de probabilités : L'arbre commence par deux branches : A (0,75) et B (0,25). Depuis A, deux branches partent vers D (0,02) et $\overline{D}$ (0,98). Depuis B, deux branches partent vers D (0,04) et $\overline{D}$ (0,96).

3. Probabilité que l'aiguille ait un défaut et provienne du site A : On cherche $P(A \cap D)$. En suivant le chemin, on a : $P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0,75 \times 0,02 = 0,015$.

4. Formule des probabilités totales : Les évènements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers. On a donc $P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D)$. Nous avons déjà $P(A \cap D) = 0,015$. Calculons $P(B \cap D) = P(B) \times P_B(D) = 0,25 \times 0,04 = 0,01$. Finalement, $P(D) = 0,015 + 0,01 = 0,025$.

5. Probabilité sachant que l'aiguille est défectueuse : On cherche $P_D(A)$. Par définition : $P_D(A) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{0,015}{0,025} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$. Il y a donc 60 % de chances qu'une aiguille défectueuse provienne du site A.