Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu des épreuves de mathématiques de Première Spécialité de 2020, mobilise deux piliers majeurs du programme : la modélisation par les suites numériques et l'algorithmie. La situation concrète porte sur la réduction annuelle des déchets d'une entreprise, ce qui permet d'aborder les variations en pourcentage et leur traduction mathématique sous forme de suites géométriques.
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficients multiplicateurs : Une baisse de 5 % correspond à multiplier par $1 - \frac{5}{100} = 0,95$. Il est crucial de ne pas confondre la raison avec le taux.
- Nature de la suite : Reconnaître une relation de récurrence du type $d_{n+1} = q \times d_n$.
- Somme de termes : Savoir utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : $S = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ en faisant attention au nombre de termes (ici de $n=0$ à $n=4$).
- Algorithmique : Comprendre la logique d'une boucle « Tant que » (While) qui s'exécute tant que la condition de sortie n'est pas atteinte.
Correction détaillée
1. Quantité en 2020 :
En 2019 ($n=0$), les déchets sont de 6 000 tonnes. Une baisse de 5 % donne : $6000 \times (1 - 0,05) = 6000 \times 0,95 = 5700$ tonnes.
2. Étude de la suite :
a. Chaque année, la quantité est multipliée par $0,95$. Ainsi, pour tout entier $n$, $d_{n+1} = 0,95 \times d_n$.
b. La suite $(d_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $d_0 = 6000$ et de raison $q = 0,95$.
c. On cherche la somme $S = d_0 + d_1 + d_2 + d_3 + d_4$ (de 2019 à 2023).
$S = 6000 \times \frac{1 - 0,95^5}{1 - 0,95} = 6000 \times \frac{1 - 0,95^5}{0,05} = 120\,000 \times (1 - 0,95^5)$.
À la calculatrice : $S \approx 27\,146$ tonnes.
Analyse de l'algorithme
L'entreprise veut savoir quand les déchets auront diminué de 40 %. Cela signifie qu'il restera $100 - 40 = 60$ % des déchets initiaux, soit $0,6 \times 6000 = 3600$ tonnes. La boucle doit continuer tant que la quantité est supérieure à ce seuil.
- Tant que $D > 3600$ (ou $D > 0.6 * 6000$)
- $D \longleftarrow D * 0.95$