Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité aborde deux piliers du programme : les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires, tout en intégrant une dimension algorithmique avec Python. La situation modélise un jeu de questions-réponses sur deux thèmes (Sciences et Économie) avec des probabilités de succès différenciées. L'enjeu est de savoir modéliser une expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré, d'appliquer la formule des probabilités totales et de définir correctement une variable aléatoire de gain.

Points de vigilance et notions de cours

• Arbre pondéré : Il est crucial de bien placer les probabilités sur les branches. Ici, le choix du thème est équiprobable ($P(S) = 0,5$ et $P(E) = 0,5$).
• Probabilités totales : Pour calculer $P(B)$, il faut sommer les probabilités des chemins menant à une bonne réponse : $P(B) = P(S \cap B) + P(\bar{S} \cap B)$.
• Indépendance : Deux évènements sont indépendants si et seulement si $P(S \cap B) = P(S) \times P(B)$.
• Variable Aléatoire : Attention à ne pas oublier de soustraire le droit d'inscription (5 €) pour obtenir le gain réel $X$.
• Algorithmique : La fonction Python présentée calcule l'espérance mathématique de la variable aléatoire.

Correction détaillée

Partie A :

1. $P(S \cap B) = P(S) \times P_S(B) = 0,5 \times 0,75 = 0,375$.
2. D'après la formule des probabilités totales : $P(B) = P(S \cap B) + P(\bar{S} \cap B)$. On calcule $P(\bar{S} \cap B) = 0,5 \times 0,125 = 0,0625$. Donc $P(B) = 0,375 + 0,0625 = 0,4375$.
3. $P(S) \times P(B) = 0,5 \times 0,4375 = 0,21875$. Or $P(S \cap B) = 0,375$. Comme $P(S \cap B) \neq P(S) \times P(B)$, les évènements ne sont pas indépendants.

Partie B :

1. Les valeurs possibles pour $X$ sont : $10 - 5 = 5$ (Sciences et succès), $30 - 5 = 25$ (Économie et succès) et $0 - 5 = -5$ (échec). La loi est : $P(X=5) = 0,375$, $P(X=25) = 0,0625$ et $P(X=-5) = 1 - P(B) = 0,5625$.
2. La fonction effectue la somme des produits $L[i] \times G[i]$, ce qui correspond à l'espérance $E(X)$. Le calcul donne : $E(X) = (-5 \times 0,5625) + (5 \times 0,375) + (25 \times 0,0625) = -2,8125 + 1,875 + 1,5625 = 0,625$. La fonction retourne donc $0,625$.