Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'application concrète des probabilités dans un contexte industriel (contrôle qualité de téléviseurs). Le candidat doit manipuler deux événements : $D$ (défaut dalle) et $C$ (défaut condensateur). La difficulté principale réside dans la distinction entre une probabilité d'intersection (et) et une probabilité conditionnelle (sachant que). L'énoncé fournit $P(D)$, la probabilité conditionnelle $P_D(C)$, ainsi que la probabilité totale $P(C)$.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les points suivants :

• Traduction de l'énoncé : Savoir identifier que 'parmi ceux-ci' introduit une probabilité conditionnelle ($P_D(C)$).
• Construction de l'arbre : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Formule des probabilités composées : $P(D \cap C) = P(D) \times P_D(C)$.
• Formule de Bayes (Probabilité inverse) : Calculer $P_C(D)$ nécessite de diviser l'intersection par la probabilité de la condition.
• Loi des probabilités totales : Comprendre que $P(C) = P(D \cap C) + P(\overline{D} \cap C)$.

Correction détaillée

1. Justification des données : D'après l'énoncé, 3 % des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle, donc $P(D) = 0,03$. Parmi ces téléviseurs (sachant $D$), 2 % ont un défaut sur le condensateur, d'où $P_D(C) = 0,02$.

2. Arbre de probabilité :
- Branche vers $D$ : $0,03$.
- Branche vers $\overline{D}$ : $1 - 0,03 = 0,97$.
- Sous-branches partant de $D$ : vers $C$ ($0,02$) et vers $\overline{C}$ ($1 - 0,02 = 0,98$).
Note : L'énoncé demande de ne compléter que les pointillés indiqués.

3. Calcul de $P(D \cap C)$ :
$P(D \cap C) = P(D) \times P_D(C) = 0,03 \times 0,02 = 0,0006$.

4. Probabilité conditionnelle $P_C(D)$ :
On cherche la probabilité que le téléviseur ait un défaut de dalle sachant qu'il a un défaut de condensateur :
$P_C(D) = \frac{P(D \cap C)}{P(C)} = \frac{0,0006}{0,05} = 0,012$.

5. Calcul de $P(\overline{D} \cap C)$ :
D'après la loi des probabilités totales : $P(C) = P(D \cap C) + P(\overline{D} \cap C)$.
En isolant l'inconnue : $P(\overline{D} \cap C) = P(C) - P(D \cap C) = 0,05 - 0,0006 = 0,0494$. Le résultat est ainsi démontré.