Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) classique du sujet de bac de Première Spécialité de 2020. Il balaie un spectre large du programme : la trigonométrie circulaire, les différentes expressions du produit scalaire, la dérivation d'une fonction quotient, la géométrie analytique (équation de cercle) et enfin la sommation des termes d'une suite géométrique.

Points de vigilance et notions clés

• Trigonométrie : Il est essentiel de maîtriser la périodicité de la fonction sinus ($2\pi$) et les formules de symétrie ($\sin(\pi - x) = \sin x$).
• Produit scalaire : Pensez à tester les coordonnées des vecteurs en premier dans un repère orthonormé, c'est souvent la méthode la plus rapide.
• Dérivation : La règle du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ est un incontournable. L'erreur classique est l'oubli du signe moins au numérateur.
• Géométrie : Savoir passer de la forme développée $x^2+y^2+ax+by+c=0$ à la forme canonique $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 = R^2$ pour identifier un cercle.
• Suites : Ne confondez pas le dernier exposant $n$ avec le nombre de termes $n+1$ dans la formule de la somme.

Correction détaillée

Question 1 : On sait que la fonction sinus est de période $2\pi$. Ainsi $\sin(7\pi - x) = \sin(6\pi + \pi - x) = \sin(\pi - x)$. D'après le cercle trigonométrique, $\sin(\pi - x) = \sin x$. La réponse exacte est a.

Question 2 : Calculons avec les coordonnées (proposition b). $\vec{AB}(x_B-x_A ; y_B-y_A) = (5 ; -7)$ et $\vec{AC}(1 - (-3) ; 7 - 5) = (4 ; 2)$. Le produit scalaire est $xx' + yy' = 5 \times 4 + (-7) \times 2 = 20 - 14 = 6$. La réponse exacte est b.

Question 3 : $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=3x+4$ ($u'(x)=3$) et $v(x)=x^2+1$ ($v'(x)=2x$).
$f'(x) = \frac{3(x^2+1) - (3x+4)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2+3-6x^2-8x}{(x^2+1)^2} = \frac{-3x^2-8x+3}{(x^2+1)^2}$. La réponse exacte est c.

Question 4 : Réorganisons l'équation : $x^2-10x+y^2+6y+30=0$. En utilisant les identités remarquables : $(x-5)^2 - 25 + (y+3)^2 - 9 + 30 = 0 \iff (x-5)^2 + (y+3)^2 = 4$. C'est l'équation d'un cercle de centre $I(5 ; -3)$ et de rayon $R=2$. La réponse exacte est c.

Question 5 : Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $q=5$ et de premier terme $1$. Il y a $31$ termes (de $5^0$ à $5^{30}$). La formule est $1 \times \frac{1-5^{31}}{1-5} = \frac{1-5^{31}}{-4} = \frac{5^{31}-1}{4}$. La réponse exacte est d.