Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité, croisant la gestion de données brutes via un tableau de contingence et l'étude d'une variable aléatoire. Le contexte est celui d'une chaîne de coiffure où les clients peuvent choisir entre plusieurs prestations cumulables. La difficulté principale réside dans la lecture attentive du texte pour traduire les effectifs en intersections d'événements.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, vous devez maîtriser les notions suivantes :

• Le tableau de contingence : Savoir que la somme des lignes et des colonnes doit correspondre aux totaux marginaux.
• Les probabilités conditionnelles : Bien distinguer $P(A \cap B)$ de $P_A(B)$. La probabilité de $A$ sachant $B$ se calcule par la formule $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ou, avec les effectifs, $\frac{n(A \cap B)}{n(B)}$.
• La variable aléatoire : Comprendre que $P(X=k)$ représente la probabilité que la variable prenne la valeur $k$. Ici, $X$ représente le coût total payé par le client.
• L'espérance mathématique : Elle se calcule avec la formule $E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i$. Elle représente la valeur moyenne que l'on peut attendre sur un grand nombre d'expériences.

Guide de résolution détaillé

1. Complétion du tableau :
On commence par placer les valeurs connues : Total = 5000, $n(C) = 2000$ donc $n(\overline{C}) = 3000$. Le texte indique $n(C \cap E) = 650$ et $n(\overline{C} \cap E) = 900$. Par soustraction, on déduit $n(C \cap \overline{E}) = 2000 - 650 = 1350$ et $n(\overline{C} \cap \overline{E}) = 3000 - 900 = 2100$. Le total de la ligne $E$ est $650 + 900 = 1550$.

2. Calculs de probabilités :
a) La probabilité de choisir les deux prestations est $P(C \cap E) = \frac{650}{5000} = 0,13$.
b) Pour $P_E(\overline{C})$, on restreint l'univers aux clients ayant choisi l'effet coup de soleil ($1550$). Parmi eux, $900$ n'ont pas de couleur soin. $P_E(\overline{C}) = \frac{900}{1550} \approx 0,58$.

3. Variable aléatoire et Espérance :
Les probabilités sont obtenues en divisant les effectifs du tableau par $5000$.
Pour $X=20$ (coupe seule), c'est $\overline{C} \cap \overline{E}$, soit $\frac{2100}{5000} = 0,42$.
Pour $X=50$ (coupe + couleur), c'est $C \cap \overline{E}$, soit $\frac{1350}{5000} = 0,27$.
L'espérance est $E(X) = 20 \times 0,42 + 50 \times 0,27 + 65 \times 0,18 + 80 \times 0,13 = 8,4 + 13,5 + 11,7 + 10,4 = 44$. Le prix moyen payé par client est de 44 euros.