Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un classique des programmes de Première Spécialité Mathématiques. Il porte sur l'application concrète des fonctions polynômes du second degré à travers un problème d'optimisation géométrique. L'objectif est de modéliser l'aire d'un enclos rectangulaire adossé à un mur pour en trouver la valeur maximale.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser plusieurs compétences clés :
- La modélisation : Savoir traduire une contrainte de longueur (périmètre de 3 côtés) en une expression algébrique.
- La forme canonique : Comprendre le passage de la forme développée $ax^2 + bx + c$ à la forme $a(x-\alpha)^2 + \beta$.
- L'étude de variations : Utiliser le signe du coefficient $a$ pour déterminer l'allure de la parabole.
- L'extremum : Identifier que le sommet de la parabole correspond au maximum (ou minimum) de la fonction.
Correction détaillée
1. Expression de l'aire et forme canonique
Le fermier dispose de 28 m de grillage pour trois côtés. Si $x$ est la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur, le côté parallèle au mur mesure $28 - 2x$. L'aire $\mathcal{A}(x)$ est donc le produit des deux dimensions :
$\mathcal{A}(x) = x(28 - 2x) = 28x - 2x^2 = -2x^2 + 28x$.
Pour la forme canonique, on peut identifier $\alpha = -b/(2a) = -28/(2 \times -2) = 7$. On calcule ensuite $\beta = \mathcal{A}(7) = -2(7)^2 + 28(7) = -98 + 196 = 98$.
Ainsi, $\mathcal{A}(x) = -2(x - 7)^2 + 98$. On vérifie bien le résultat demandé.
2. Identification de la courbe
La fonction $\mathcal{A}$ est un polynôme du second degré avec $a = -2$. Puisque $a < 0$, la parabole est orientée vers le bas (forme de « pont »). Le sommet a pour coordonnées $(7, 98)$. Sur le graphique, la courbe $\mathcal{C}_2$ est la seule qui passe par l'origine (car $\mathcal{A}(0)=0$) et présente un sommet cohérent avec ces valeurs sur l'intervalle $[0 ; 14]$.
3. Tableau de variations
Comme $a < 0$, la fonction est strictement croissante sur $[0 ; 7]$ puis strictement décroissante sur $[7 ; 14]$. Le maximum est atteint en $x=7$.
4. Optimisation
D'après l'étude précédente, l'aire est maximale pour $x = 7$ mètres. L'aire maximale vaut alors $\mathcal{A}(7) = 98$ m².