Analyse de l'énoncé : Modélisation par une suite
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur l'application concrète des suites géométriques dans un contexte économique (soldes/liquidation). L'enjeu est de traduire une variation en pourcentage par un coefficient multiplicateur et d'utiliser l'outil informatique (Python) pour résoudre un problème de seuil.
Points de vigilance et notions de cours
- Le coefficient multiplicateur : Une diminution de 10 % correspond à multiplier par (1 - 10/100), soit 0,9. C'est l'erreur la plus fréquente : confondre soustraction et multiplication.
- Nature de la suite : Puisque l'on multiplie chaque terme par un nombre constant pour obtenir le suivant, la suite est géométrique.
- Algorithmique (Python) : Dans une boucle
while (tant que), la condition doit être celle qui permet de continuer la recherche. Si l'on cherche quand le prix devient inférieur à x, on boucle tant que le prix est supérieur ou égal à x.
Correction détaillée
1. Calcul des premiers termes
On a $u_0 = 200$.
Pour $u_1$ : $200 \times 0,9 = 180$.
Pour $u_2$ : $180 \times 0,9 = 162$.
2. Nature et expression de la suite
Le prix baisse de 10 % chaque semaine, donc $u_{n+1} = u_n \times (1 - 0,10) = 0,9u_n$.
La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 200$ et de raison $q = 0,9$.
L'expression du terme général est : $u_n = u_0 \times q^n = 200 \times 0,9^n$.
3. Prix après 12 semaines
On calcule $u_{12} = 200 \times 0,9^{12} \approx 56,486$.
Le prix arrondi au centime est donc 56,49 €.
4. Complétion de l'algorithme Python
Voici la fonction complétée :
def seuil(x):
u = 200
n = 0
while u >= x:
u = u * 0.9
n = n + 1
return n
5. Résolution du problème de seuil
On cherche $n$ tel que $u_n < 100$.
À l'aide de la calculatrice :
$u_6 = 200 \times 0,9^6 \approx 106,29$
$u_7 = 200 \times 0,9^7 \approx 95,66$
La personne devra donc attendre 7 semaines.