Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la géométrie repérée dans le plan et l'utilisation du produit scalaire. L'objectif est d'étudier les caractéristiques d'un triangle $ABC$ à travers ses hauteurs et son orthocentre. Les élèves doivent maîtriser les équations de droites, la condition d'orthogonalité via les vecteurs directeurs ou normaux, et les propriétés géométriques fondamentales des triangles.

Points de vigilance et notions de cours

• Caractérisation d'une hauteur : Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
• Orthocentre : Point de concours des trois hauteurs d'un triangle.
• Produit scalaire et orthogonalité : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Équation de droite : Savoir passer d'un vecteur normal à une équation cartésienne de type $ax + by + c = 0$.

Correction détaillée

1. Montrer que $y=1$ est l'équation de $(d_1)$ :
Les points $A(7~;~-2)$ and $B(7~;~4)$ ont la même abscisse $x=7$. La droite $(AB)$ est donc une droite verticale. Une droite perpendiculaire à une verticale est une droite horizontale d'équation $y = k$. Puisque la droite $(d_1)$ passe par $C(1~;~1)$, son ordonnée est constante et égale à 1. L'équation est bien $y=1$.

2. Nature de la droite $(d_1)$ :
Par définition, $(d_1)$ passe par le sommet $C$ et est perpendiculaire au côté opposé $[AB]$. C'est donc la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$.

3. Équation de la droite $(d_2)$ (hauteur issue de $B$) :
$(d_2)$ passe par $B(7~;~4)$ et est perpendiculaire à $(AC)$. Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{AC}$ : $\vec{AC}(1-7~;~1-(-2))$, soit $\vec{AC}(-6~;~3)$.
Soit $M(x~;~y)$ un point de $(d_2)$. Le vecteur $\vec{BM}(x-7~;~y-4)$ doit être orthogonal à $\vec{AC}$.
$\vec{BM} \cdot \vec{AC} = 0 \iff -6(x-7) + 3(y-4) = 0 \iff -6x + 42 + 3y - 12 = 0 \iff -6x + 3y + 30 = 0$.
En simplifiant par 3, on obtient l'équation cartésienne : $-2x + y + 10 = 0$ ou $y = 2x - 10$.

4. Valeur du produit scalaire $\vec{AH} \cdot \vec{CB}$ :
Le point $H$ est l'intersection de deux hauteurs $(d_1)$ et $(d_2)$. Par définition, $H$ est donc l'orthocentre du triangle $ABC$. Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes. Par conséquent, la droite $(AH)$, qui passe par le sommet $A$ et l'orthocentre $H$, est nécessairement la troisième hauteur du triangle, celle issue de $A$. Ainsi, $(AH)$ est perpendiculaire à la droite $(CB)$. On en déduit que les vecteurs $\vec{AH}$ et $\vec{CB}$ sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul : $\vec{AH} \cdot \vec{CB} = 0$.