Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une évolution démographique à l'aide des suites numériques, une compétence centrale du programme de mathématiques de Première Spécialité. L'objectif est de traduire une baisse annuelle en pourcentage par une structure mathématique rigoureuse (suite géométrique) et d'utiliser l'outil informatique (Python) pour déterminer un seuil.
Points de vigilance et notions de cours
- Le coefficient multiplicateur : Une baisse de 1 % correspond à multiplier par $(1 - \frac{1}{100}) = 0,99$. C'est l'étape cruciale pour définir la raison de la suite.
- Nature de la suite : Pour justifier qu'une suite est géométrique, il faut montrer que chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante réelle $q$.
- Algorithmique (Boucle While) : Il faut comprendre que la boucle
while s'arrête dès que la condition U > 80 n'est plus vérifiée. Le compteur $n$ compte le nombre d'itérations nécessaires pour passer sous ce seuil. - Formule explicite : Savoir passer de la forme de récurrence $u_{n+1} = u_n \times q$ à la forme explicite $u_n = u_0 \times q^n$.
Correction détaillée
1. Calcul du taux en 1996 :
L'année 1996 correspond à $n=1$. Le taux subit une baisse de 1 % par rapport à $u_0 = 84,8$.
$u_1 = 84,8 \times (1 - 0,01) = 84,8 \times 0,99 = 83,952$. En 1996, le taux est d'environ 83,95 %.
2. Nature de la suite :
Chaque année, le taux est multiplié par $0,99$. On a donc la relation $u_{n+1} = 0,99 \times u_n$ pour tout $n$. Par définition, $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 84,8$ et de raison $q = 0,99$.
3. Algorithme Python :
L'algorithme calcule les termes successifs de la suite tant qu'ils sont supérieurs à 80. Testons les valeurs :
- $n=0, U=84,8$
- $n=1, U=83,952$
- $n=2, U \approx 83,11$
- $n=3, U \approx 82,28$
- $n=4, U \approx 81,46$
- $n=5, U \approx 80,64$
- $n=6, U \approx 79,84$
La boucle s'arrête à $n=6$.
Interprétation : C'est en 2001 ($1995+6$) que le taux de scolarisation passe pour la première fois en dessous de 80 %.
4. Formule explicite :
Puisque $(u_n)$ est géométrique, on a $u_n = u_0 \times q^n$, soit $u_n = 84,8 \times 0,99^n$.
5. Taux en 2005 :
L'année 2005 correspond à $n = 2005 - 1995 = 10$.
$u_{10} = 84,8 \times 0,99^{10} \approx 76,69$. Le taux de scolarisation en 2005 est d'environ 76,69 %.