Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques en classe de Première Spécialité. Il aborde la thématique des probabilités conditionnelles à travers une situation concrète : le choix d'un dessert et d'une boisson dans un restaurant. L'objectif est de structurer des informations textuelles sous forme d'arbre pondéré pour ensuite appliquer les formules fondamentales du cours.

Points de vigilance et notions requises

• L'arbre de probabilités : C'est l'outil indispensable. Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. Ici, il ne faut pas oublier de calculer $P(N)$, la probabilité que le client ne prenne pas de dessert ($1 - 0,4 - 0,3 = 0,3$).
• La formule des probabilités totales : Utilisée pour calculer $P(C)$, elle consiste à sommer les probabilités de tous les chemins menant à l'événement $C$.
• La probabilité conditionnelle inversée : La question 3 demande de calculer $P_C(T)$, ce qui nécessite la formule $P_C(T) = \frac{P(T \cap C)}{P(C)}$.

Correction Détaillée

1. Construction de l'arbre : L'arbre commence par trois branches : $M$ (0,4), $T$ (0,3) et $N$ (0,3). De chaque branche partent deux sous-branches $C$ et $\bar{C}$. On note $P_M(C) = 0,7$, $P_T(C) = 0,4$ et $P_N(C) = 0,9$.

2. Calculs de probabilités :
- $P(T \cap C) = P(T) \times P_T(C) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$.
- Pour $P(C)$, on applique la loi des probabilités totales :
$P(C) = P(M \cap C) + P(T \cap C) + P(N \cap C)$
$P(C) = (0,4 \times 0,7) + 0,12 + (0,3 \times 0,9)$
$P(C) = 0,28 + 0,12 + 0,27 = 0,67$.

3. Probabilité que le client ait pris une tarte sachant qu'il a pris un café :
$P_C(T) = \frac{P(T \cap C)}{P(C)} = \frac{0,12}{0,67}$.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par 100, on obtient la fraction irréductible : $\frac{12}{67}$.