Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un excellent test de synthèse pour le milieu d'année de Première Spécialité. Il couvre trois piliers fondamentaux : la géométrie vectorielle via le produit scalaire, l'analyse avec la dérivation (calculs et interprétations graphiques) et l'étude des fonctions avec la fonction exponentielle. L'objectif est de vérifier la rapidité d'exécution et la maîtrise des définitions de base sans justification formelle.

Points de vigilance et notions de cours

• Produit Scalaire : Il faut connaître la définition géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$.
• Nombre dérivé : Se souvenir que $f'(a)$ est la limite du taux d'accroissement quand $h$ tend vers 0.
• Formules de dérivation : La règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ est cruciale, surtout combinée à $(e^x)' = e^x$.
• Tangente : L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
• Lecture graphique : Le nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente.

Correction détaillée

Question 1 : On utilise la formule du produit scalaire avec le cosinus : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$. Soit $6 \times 3 \times \cos(\frac{\pi}{3})$. Comme $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0,5$, on obtient $18 \times 0,5 = 9$. Réponse a.

Question 2 : Par définition, $f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$. En remplaçant par l'expression donnée : $\lim_{h \to 0} (h^2 + 3h - 1) = 0^2 + 3(0) - 1 = -1$. Réponse b.

Question 3 : On pose $u(x) = x + 2$ donc $u'(x) = 1$, et $v(x) = e^x$ donc $v'(x) = e^x$. En appliquant $(uv)' = u'v + uv'$, on a $f'(x) = 1 \cdot e^x + (x + 2) \cdot e^x = (1 + x + 2)e^x = (x + 3)e^x$. Réponse b.

Question 4 : L'équation est $y = f'(2)(x - 2) + f(2)$. En remplaçant par les valeurs de l'énoncé : $y = -1(x - 2) + 5$, soit $y = -x + 2 + 5$, donc $y = -x + 7$. Réponse c.

Question 5 : $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite (AB) avec $A(1 ; 4/3)$ et $B(0 ; -5/3)$. On calcule $m = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{4/3 - (-5/3)}{1 - 0} = \frac{9/3}{1} = 3$. Réponse d.