Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques, issu des épreuves de Première Spécialité 2020, propose une étude classique mêlant lecture graphique et modélisation algébrique d'une fonction polynôme du troisième degré. L'objectif principal est de faire le lien entre les propriétés géométriques d'une courbe (points de passage et tangentes horizontales) et les propriétés analytiques de la fonction $f$ et de sa dérivée $f'$. La première partie sollicite les capacités de lecture graphique, tandis que la seconde demande une maîtrise du calcul de dérivées et de la résolution de systèmes d'équations.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les concepts suivants :
- Lecture graphique : Identifier l'ordonnée d'un point pour obtenir $f(a)$ et interpréter l'inclinaison d'une tangente.
- Signification de la dérivée : Se rappeler qu'une tangente horizontale en un point d'abscisse $x$ implique que le nombre dérivé $f'(x)$ est nul.
- Dérivation des polynômes : Appliquer la formule $(ax^n)' = nax^{n-1}$. Pour $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, on a $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Identification de coefficients : Savoir poser un système à partir des données extraites du graphique pour trouver les inconnues $a, b, c$ et $d$.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Lecture graphique :
Le point $H(0;1)$ appartient à la courbe, donc $f(0) = 1$. Le point $G(-2;5)$ appartient à la courbe, donc $f(-2) = 5$. Les tangentes en $G$ et $H$ sont horizontales, ce qui signifie que leurs coefficients directeurs sont nuls : $f'(0) = 0$ et $f'(-2) = 0$.
2. Modélisation algébrique :
a) La dérivée d'un polynôme de degré 3 est donnée par : $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
b) Déterminons $c$ et $d$ :
On sait que $f(0) = d$. Or $f(0) = 1$, donc $d = 1$.
On sait que $f'(0) = c$. Or $f'(0) = 0$, donc $c = 0$.
c) Utilisons les informations sur $G(-2;5)$ et $f'(-2)=0$ pour trouver $a$ et $b$ :
De $f'(-2) = 0$, on tire : $3a(-2)^2 + 2b(-2) + 0 = 0$, soit $12a - 4b = 0$, d'où $b = 3a$.
De $f(-2) = 5$, on tire : $a(-2)^3 + b(-2)^2 + 0(-2) + 1 = 5$, soit $-8a + 4b = 4$.
d) En remplaçant $b$ par $3a$ dans la deuxième équation : $-8a + 4(3a) = 4$, ce qui donne $4a = 4$, donc $a = 1$. Il s'ensuit que $b = 3 \times 1 = 3$.
On conclut bien que $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$.
Importance de la rigueur
La clé de cet exercice réside dans la transition fluide entre le graphique et l'écriture mathématique. Ne pas confondre $f(x)$ et $f'(x)$ est essentiel pour éviter les erreurs de système.