Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de cinq questions indépendantes. Il balaye une large partie du programme de mathématiques de Première Spécialité : la géométrie analytique (cercles et droites), la trigonométrie, l'étude des fonctions polynômes du second degré et les variables aléatoires. L'objectif est de tester la rapidité d'exécution et la maîtrise des formules fondamentales.

Points de vigilance et notions requises

• Géométrie repérée : Il est crucial de connaître l'équation cartésienne d'un cercle de centre $A(x_A; y_A)$ et de rayon $R$, qui est $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$. Attention aux signes lors de l'injection des coordonnées.
• Droites et orthogonalité : Pour que deux droites soient perpendiculaires, leurs vecteurs normaux respectifs $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ doivent être orthogonaux, soit $\vec{n} \cdot \vec{n'} = 0$.
• Trigonométrie : Les relations sur le cercle trigonométrique (angles associés) sont indispensables, notamment $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ et $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$.
• Second degré : Le sommet d'une parabole d'équation $ax^2 + bx + c$ a pour abscisse $\alpha = -\frac{b}{2a}$. Le signe de $a$ détermine le sens de variation.
• Probabilités : L'espérance $E(G)$ est la somme des produits des valeurs par leurs probabilités respectives.

Correction détaillée

Question 1 : Le centre est $A(2; -1)$ et le rayon $R=4$. L'équation est $(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 4^2$, ce qui donne $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16$. Réponse c.

Question 2 : La droite $(d)$ a pour équation $2x - y + 1 = 0$, son vecteur normal est $\vec{n}(2; -1)$. Une droite $(d_1)$ est perpendiculaire à $(d)$ si son vecteur normal $\vec{n_1}(a; b)$ est orthogonal à $\vec{n}$, soit $2a - b = 0$, donc $b = 2a$. En prenant $a=1$, on a $b=2$, ce qui correspond à une équation du type $x + 2y + c = 0$. Réponse b.

Question 3 : On utilise les formules de réduction : $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ et $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$. La somme devient $\sin(x) - \sin(x) = 0$. Réponse b.

Question 4 : $f(x) = -3x^2 + x - 5$. Ici $a = -3$ et $b = 1$. Comme $a < 0$, la fonction est d'abord croissante puis décroissante. L'abscisse du sommet est $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times (-3)} = \frac{1}{6}$. Réponse d.

Question 5 : $E(G) = (-25 \times \frac{1}{3}) + (-3 \times \frac{1}{6}) + (0,3 \times x) + (100 \times 0,2) = \frac{38}{3}$.
$-\frac{25}{3} - \frac{1}{2} + 0,3x + 20 = \frac{38}{3}$
On multiplie tout par 6 pour simplifier : $-50 - 3 + 1,8x + 120 = 76$
$67 + 1,8x = 76 \implies 1,8x = 9 \implies x = \frac{9}{1,8} = 5$. Réponse b.