Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) issu du sujet 53 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première. Il balaye un large spectre du programme, testant à la fois les compétences algébriques, géométriques et analytiques des élèves.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Connaître les relations entre les racines d'un trinôme ($S = -b/a$ et $P = c/a$).
• Trigonométrie : Maîtriser les formules de symétrie sur le cercle trigonométrique, notamment pour la fonction sinus.
• Géométrie repérée : Identifier l'équation d'un cercle $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 = R^2$ et savoir tester l'appartenance d'un point à une courbe.
• Vecteurs et Droites : Utiliser un vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ pour établir l'équation cartésienne $ax+by+c=0$.
• Analyse : Appliquer la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ impliquant la fonction exponentielle.

Correction détaillée

Question 1 : Pour $2x^2 - 8x + 6 = 0$, on a $a=2, b=-8, c=6$. La somme des racines est $S = -b/a = -(-8)/2 = 4$ et le produit est $P = c/a = 6/2 = 3$. La réponse exacte est la C.

Question 2 : D'après les propriétés du cercle trigonométrique, $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Si $\sin(\alpha) = 0,5$, alors $\sin(\pi - \alpha) = 0,5$. La réponse exacte est la A.

Question 3 : L'équation est celle d'un cercle de centre $(3 ; -0,5)$ et de rayon $R = \sqrt{25/4} = 2,5$. Testons le point $R(5 ; -2)$ : $(5-3)^2 + (-2+0,5)^2 = 2^2 + (-1,5)^2 = 4 + 2,25 = 6,25$. Comme $25/4 = 6,25$, le point appartient au cercle. La réponse exacte est la B.

Question 4 : Avec $\vec{n}(5;6)$, l'équation est de la forme $5x + 6y + c = 0$. En remplaçant par les coordonnées de $A(2;-4)$ : $5(2) + 6(-4) + c = 0 \Rightarrow 10 - 24 + c = 0 \Rightarrow c = 14$. L'équation est $5x + 6y + 14 = 0$. La réponse exacte est la C.

Question 5 : $f(x) = (2x + 3)e^x$. On pose $u(x) = 2x+3$ ($u'(x)=2$) et $v(x) = e^x$ ($v'(x)=e^x$). $f'(x) = 2e^x + (2x+3)e^x = (2+2x+3)e^x = (2x+5)e^x$. La réponse exacte est la D.