Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution de deux populations (villes A et B) à l'aide de suites numériques. La ville A subit une évolution en pourcentage (croissance géométrique), tandis que la ville B subit une évolution constante en valeur absolue (croissance arithmétique). C'est un grand classique du programme de Première Spécialité qui combine calculs de termes, expressions générales et programmation.
Points de vigilance
- Taux d'évolution : Une augmentation de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{2}{100} = 1,02$.
- Décalage temporel : L'année $2010 + n$ signifie que pour 2010, $n=0$, et pour 2020, $n=10$.
- Structure de l'algorithme : La boucle
while (Tant que) doit s'arrêter dès que la condition est fausse ; il faut donc réfléchir à la condition de maintien (U < V).
Correction Détaillée
1. Calcul des populations en 2011
En 2011, $n = 1$.
Pour la ville A : $u_1 = 4600 \times (1 + 0,02) = 4600 \times 1,02 = 4692$.
Pour la ville B : $v_1 = 5100 + 110 = 5210$.
2. Nature des suites
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 4600$ et de raison $q = 1,02$ car on multiplie par un même nombre chaque année.
La suite $(v_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $v_0 = 5100$ et de raison $r = 110$ car on ajoute une valeur constante chaque année.
3. Expression de $u_n$ et population en 2020
Pour une suite géométrique : $u_n = u_0 \times q^n$.
Ici, $u_n = 4600 \times 1,02^n$.
En 2020 ($n=10$) : $u_{10} = 4600 \times 1,02^{10} \approx 5607$ habitants (arrondi à l'unité).
4. Expression de $v_n$ et population en 2020
Pour une suite arithmétique : $v_n = v_0 + n \times r$.
Ici, $v_n = 5100 + 110n$.
En 2020 ($n=10$) : $v_{10} = 5100 + 110 \times 10 = 5100 + 1100 = 6200$ habitants.
5. Complétion de l'algorithme Python
L'objectif est de trouver $n$ tel que $u_n > v_n$. La boucle doit donc tourner tant que $u$ est inférieur ou égal à $v$.
def année():
u = 4600
v = 5100
n = 0
while u <= v:
u = u * 1.02
v = v + 110
n = n + 1
return n