Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité traite d'une situation concrète de vente en magasin, modélisée par des probabilités. L'objectif est de manipuler les probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre pondéré, puis d'étudier une variable aléatoire liée au coût total d'achat d'un smartphone et de ses accessoires. Les notions de probabilités totales et d'espérance mathématique sont au cœur du sujet.

Points de vigilance et notions requises

• L'arbre pondéré : Il est essentiel de bien distinguer la probabilité d'une intersection $P(A \cap C)$ de la probabilité conditionnelle $P_A(C)$.
• Formule des probabilités totales : Pour calculer $P(C)$, il faut sommer les probabilités des chemins menant à l'événement $C$.
• Variable aléatoire : La dépense totale $X$ dépend de la combinaison des événements choisis (assurance et/ou coque). Il ne faut pas oublier le prix de base du téléphone (800€) dans chaque cas.

Guide de résolution et correction

1. Calcul de $P(A \cap C)$ :
D'après l'énoncé, $P(A) = 0,4$ et $P_A(C) = 0,2$. On utilise la formule : $P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0,4 \times 0,2 = 0,08$.

2. Montrer que $P(C) = 0,28$ :
Selon la formule des probabilités totales : $P(C) = P(A \cap C) + P(\bar{A} \cap C)$.
On sait que $P(\bar{A}) = 1 - 0,4 = 0,6$.
L'énoncé indique que parmi ceux n'ayant pas pris l'assurance, deux sur trois n'ont pas pris la coque, donc $P_{\bar{A}}(\bar{C}) = 2/3$. On en déduit $P_{\bar{A}}(C) = 1 - 2/3 = 1/3$.
$P(\bar{A} \cap C) = 0,6 \times (1/3) = 0,2$.
Ainsi, $P(C) = 0,08 + 0,2 = 0,28$.

3. Calcul de $P_C(\bar{A})$ :
Il s'agit d'une probabilité "inversée" : $P_C(\bar{A}) = \frac{P(\bar{A} \cap C)}{P(C)} = \frac{0,2}{0,28} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7} \approx 0,714$.

4. Dépense moyenne (Espérance $E(X)$) :
Déterminons les valeurs possibles de $X$ :

• $X_1 = 800 + 50 + 20 = 870€$ ($A \cap C$) avec $P=0,08$
• $X_2 = 800 + 50 = 850€$ ($A \cap \bar{C}$) avec $P=0,4 - 0,08 = 0,32$
• $X_3 = 800 + 20 = 820€$ ($\bar{A} \cap C$) avec $P=0,2$
• $X_4 = 800€$ ($\bar{A} \cap \bar{C}$) avec $P=0,6 - 0,2 = 0,4$

$E(X) = 870 \times 0,08 + 850 \times 0,32 + 820 \times 0,2 + 800 \times 0,4 = 69,6 + 272 + 164 + 320 = 825,6$.
La dépense moyenne est donc de 825,60 €.