Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la géométrie repérée et le produit scalaire dans le plan, des notions fondamentales du programme de Première Spécialité. L'objectif est de manipuler des coordonnées de points, de calculer des produits scalaires et de déterminer des équations cartésiennes de droites particulières (médianes) pour trouver le centre de gravité d'un triangle.

Points de vigilance et notions requises

• Coordonnées du milieu : Pour un segment [AB], le milieu $M$ a pour coordonnées $(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2})$.
• Produit scalaire : Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(x ; y) \cdot \vec{v}(x' ; y') = xx' + yy'$.
• Équation de droite : Une droite peut être définie par une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ ou réduite $y = mx + p$.
• Médiane : Droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé.

Correction détaillée

1. Calcul des produits scalaires

On a $O(0 ; 0)$, $A(8 ; 0)$ et $B(0 ; 6)$. Les vecteurs sont $\vec{OA}\binom{8}{0}$ et $\vec{OB}\binom{0}{6}$.

• a. $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 8 \times 0 + 0 \times 6 = 0$. Les vecteurs sont orthogonaux (le triangle OAB est rectangle en O).
• b. $E$ est le milieu de $[AB]$. Ses coordonnées sont $(\frac{8+0}{2} ; \frac{0+6}{2}) = (4 ; 3)$. Le vecteur $\vec{OE}$ a donc pour coordonnées $\binom{4}{3}$.
  $\vec{OA} \cdot \vec{OE} = 8 \times 4 + 0 \times 3 = 32$.

2. Étude des médianes et centre de gravité

a. Médiane issue de B : Cette droite passe par $B(0 ; 6)$ et le milieu de $[OA]$, notons-le $M$. $M$ a pour coordonnées $(4 ; 0)$.
Testons l'équation $1,5x + y - 6 = 0$ :
- Pour $B(0 ; 6)$ : $1,5(0) + 6 - 6 = 0$. (Vrai)
- Pour $M(4 ; 0)$ : $1,5(4) + 0 - 6 = 6 - 6 = 0$. (Vrai)
L'équation est bien validée.

b. Médiane issue de O : Elle passe par $O(0 ; 0)$ et le milieu $E(4 ; 3)$ de $[AB]$.
La pente est $m = \frac{y_E - y_O}{x_E - x_O} = \frac{3}{4} = 0,75$.
L'équation est $y = 0,75x$, soit $0,75x - y = 0$.

c. Centre de gravité G : G est l'intersection des médianes. On résout le système :
1) $1,5x + y - 6 = 0$
2) $y = 0,75x$
En substituant (2) dans (1) : $1,5x + 0,75x = 6 \Rightarrow 2,25x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{2,25} = \frac{8}{3}$.
Puis $y = 0,75 \times \frac{8}{3} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} = 2$.
Les coordonnées de $G$ sont $(\frac{8}{3} ; 2)$. On vérifie que $x_G = \frac{x_O+x_A+x_B}{3} = \frac{0+8+0}{3} = \frac{8}{3}$, ce qui confirme le résultat.