Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'analyse de données statistiques croisées dans un club de sport, traitées sous l'angle des probabilités. L'énoncé présente un tableau de contingence (effectifs à deux variables : âge et genre) qu'il faut savoir exploiter pour calculer des probabilités simples, des probabilités conditionnelles et définir une variable aléatoire discrète.

Points de vigilance et notions de cours

• Lecture du tableau : Ne pas confondre les effectifs partiels (par exemple, le nombre de filles de 17 ans) avec les totaux de ligne ou de colonne.
• Probabilités conditionnelles : La question 2 introduit une condition : « L'adhérent choisi a 18 ans ». Cela restreint l'univers de référence au groupe des 15 personnes de 18 ans, et non plus aux 150 adhérents.
• Loi de probabilité : Il faut lister toutes les valeurs possibles de X et associer à chacune sa probabilité. La somme des probabilités doit toujours être égale à 1.
• Espérance : C'est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. Elle représente la valeur moyenne théorique sur un grand nombre de tirages.

Correction détaillée

1. Probabilité que l'adhérent ait 17 ans :
D'après le tableau, il y a 30 adhérents de 17 ans sur un total de 150. Soit $P(A) = \frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 0,2$.

2. Probabilité conditionnelle (Fille sachant 18 ans) :
On sait que l'adhérent a 18 ans. Il y a 15 adhérents de 18 ans au total. Parmi eux, 10 sont des filles. La probabilité est donc $P_{18}(F) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0,67$.

3. Loi de probabilité de X :
Les valeurs prises par $X$ sont {15, 16, 17, 18}.

• $P(X=15) = \frac{30}{150} = 0,2$
• $P(X=16) = \frac{75}{150} = 0,5$
• $P(X=17) = \frac{30}{150} = 0,2$
• $P(X=18) = \frac{15}{150} = 0,1$

4. Calcul de $P(X \geq 16)$ :
$P(X \geq 16) = P(X=16) + P(X=17) + P(X=18) = 0,5 + 0,2 + 0,1 = 0,8$.
Interprétation : 80 % des adhérents du club de sport ont au moins 16 ans.

5. Espérance de X :
$E(X) = (15 \times 0,2) + (16 \times 0,5) + (17 \times 0,2) + (18 \times 0,1)$
$E(X) = 3 + 8 + 3,4 + 1,8 = 16,2$.
Interprétation : L'âge moyen des adhérents de ce club de sport est de 16,2 ans.