Analyse de l'exercice et enjeux pédagogiques

Ce sujet de type QCM (Questionnaire à Choix Multiples) pour la classe de Première Spécialité Mathématiques aborde quatre piliers du programme : la géométrie analytique (équations de cercles et de droites), l'étude des fonctions polynômes du second degré et les propriétés de la fonction exponentielle. L'objectif est de tester la rapidité de réflexion et la maîtrise des définitions fondamentales.

Point de vigilance : Les fondamentaux à maîtriser

• Géométrie repérée : Il est crucial de connaître la forme canonique de l'équation d'un cercle de centre $I(a ; b)$ et de rayon $R$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
• Second degré : La forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ montre qu'une infinité de paraboles peuvent passer par les mêmes points d'ordonnées nulles sur l'axe des abscisses, selon la valeur du coefficient directeur $a$.
• Exponentielle : Les relations fonctionnelles transforment les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a \times e^b$.
• Vecteurs et Droites : Savoir extraire un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$ d'une équation cartésienne $ax + by + c = 0$.

Correction détaillée du QCM

Question 1 : L'équation donnée est $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9$. On reconnaît la forme $(x - (-1))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$. Il s'agit donc d'un cercle de centre $C(-1 ; 1)$ et de rayon 3. Réponse (a).

Question 2 : Si une fonction polynôme du second degré s'annule en 1 et 3, sa forme factorisée est $f(x) = a(x - 1)(x - 3)$. Comme $a$ peut être n'importe quel nombre réel non nul, il existe une infinité de fonctions répondant à ce critère (elles correspondent à une infinité de paraboles plus ou moins "étirées"). Réponse (d).

Question 3 : Le signe d'un trinôme dépend de son discriminant $\Delta$ et de son coefficient $a$. Si $\Delta < 0$, la fonction est de signe constant (celui de $a$). Si $\Delta > 0$, elle change de signe entre ses racines. Elle peut donc être de signe constant ou non. Réponse (d).

Question 4 : En utilisant la propriété algébrique $e^{a+b} = e^a \times e^b$, on a $e^{2x+1} = e^{2x} \times e^1 = e^{2x} \times e$. Réponse (b).

Question 5 : Pour la droite d'équation $2x - 5y - 4 = 0$, les coefficients devant $x$ et $y$ donnent les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}(2 ; -5)$. La proposition (c) est donc immédiatement vérifiée. On peut écarter (d) car un vecteur directeur serait $\vec{u}(5 ; 2)$. Réponse (c).