Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur le programme de probabilités de la classe de Première Spécialité. Il combine trois compétences clés : la modélisation par un arbre pondéré, le calcul de probabilités conditionnelles et l'étude d'une variable aléatoire (loi de probabilité et espérance). L'énoncé présente un contexte industriel classique (contrôle qualité) où les événements sont liés. La difficulté réside souvent dans la distinction entre une intersection (\(P(A \cap B)\)) et une probabilité conditionnelle (\(P_A(B)\)).

Points de vigilance et notions requises

• Probabilité conditionnelle : Le terme "parmi les jeux qui n'ont pas de défaut de peinture" indique mathématiquement que nous travaillons sur une condition (\(P_{\overline{T}}\)).
• Loi des probabilités totales : Utilisée pour calculer \(P(S)\) en additionnant les chemins de l'arbre menant à S.
• Variable aléatoire : Bien identifier les issues correspondant à chaque gain ou prix pour ne pas oublier de cas dans le tableau de la loi de probabilité.

Correction détaillée

1. Démontrer que \(p_T(S) = 0,25\)

D'après l'énoncé, nous savons que \(P(T) = 0,08\) (8% de défauts de peinture). On nous dit aussi que 2% des jeux présentent les deux défauts, soit \(P(T \cap S) = 0,02\).
Par définition : \(p_T(S) = \frac{P(T \cap S)}{P(T)} = \frac{0,02}{0,08} = \frac{2}{8} = 0,25\). La relation est démontrée.

2. Compléter l'arbre pondéré

L'arbre se décompose ainsi :

• Niveau 1 : Branche \(T\) (0,08) et branche \(\overline{T}\) (\(1 - 0,08 = 0,92\)).
• Niveau 2 (sous \(T\)) : Branche \(S\) (0,25) et branche \(\overline{S}\) (\(1 - 0,25 = 0,75\)).
• Niveau 2 (sous \(\overline{T}\)) : On nous dit que parmi ceux sans défaut de peinture, 5% ont un défaut de solidité. Donc \(P_{\overline{T}}(S) = 0,05\) et \(P_{\overline{T}}(\overline{S}) = 0,95\).

3. Probabilité que le jeu n'ait pas de défaut de solidité

On cherche \(P(\overline{S})\). Utilisons l'événement contraire en calculant d'abord \(P(S)\) via la formule des probabilités totales :
\(P(S) = P(T \cap S) + P(\overline{T} \cap S)\)
\(P(S) = 0,02 + (0,92 \times 0,05) = 0,02 + 0,046 = 0,066\).
Alors, \(P(\overline{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0,066 = 0,934\).

4. Variable aléatoire X

a) Loi de probabilité :

• \(X = 0\) : Le jeu a un défaut de solidité. La probabilité est \(P(S) = 0,066\).
• \(X = 9\) : Défaut de peinture uniquement (\(T \cap \overline{S}\)). Probabilité : \(0,08 \times 0,75 = 0,06\).
• \(X = 14\) : Aucun défaut (\(\overline{T} \cap \overline{S}\)). Probabilité : \(0,92 \times 0,95 = 0,874\).

Vérification : \(0,066 + 0,06 + 0,874 = 1\).

b) Espérance :
\(E(X) = (0 \times 0,066) + (9 \times 0,06) + (14 \times 0,874)\)
\(E(X) = 0 + 0,54 + 12,236 = 12,776\).
Le prix de vente moyen est d'environ 12,78 €.