Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité est un classique des épreuves de mathématiques. Il se décompose en deux parties complémentaires : l'étude d'une situation de dépendance via les probabilités conditionnelles, puis l'application de ces résultats à une variable aléatoire monétaire. L'enjeu est de modéliser correctement les choix de spectateurs dans un cinéma (film d'action, dessin animé ou comédie) associés à un comportement d'achat (friandises).

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. Ne pas oublier de calculer $P(C)$ avant de commencer.
• Formule des probabilités totales : C'est l'outil indispensable pour calculer $P(F)$ puisque l'évènement $F$ est partitionné par $A$, $D$ et $C$.
• Probabilités inversées : La question 3 demande $P_F(D)$, ce qui nécessite d'utiliser la définition $P(D \cap F) / P(F)$.
• Variable aléatoire : Bien identifier les valeurs possibles de $X$ (10€ ou 18€) et leurs probabilités associées avant de calculer l'espérance.

Guide de résolution détaillé

1. Construction de l'arbre :
On a $P(A) = 0,40$, $P(D) = 0,35$. Puisque ce sont les seules catégories, $P(C) = 1 - (0,40 + 0,35) = 0,25$.
Pour les branches secondaires : $P_A(F) = 0,5$, $P_D(F) = 0,8$ et $P_C(F) = 0,7$. Les branches complémentaires (barre F) se calculent par soustraction à 1.

2. Calcul de $P(F)$ :
D'après la formule des probabilités totales :
$P(F) = P(A \cap F) + P(D \cap F) + P(C \cap F)$
$P(F) = 0,4 \times 0,5 + 0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,7$
$P(F) = 0,2 + 0,28 + 0,175 = 0,655$. La démonstration est cohérente avec l'énoncé.

3. Probabilité conditionnelle :
On cherche $P_F(D) = \frac{P(D \cap F)}{P(F)}$.
$P_F(D) = \frac{0,35 \times 0,8}{0,655} = \frac{0,28}{0,655} \approx 0,427$.

4. Loi de probabilité et Espérance :
La variable $X$ prend deux valeurs : 18€ (si le spectateur achète des friandises, soit l'évènement $F$) et 10€ (s'il n'en achète pas, soit $\overline{F}$).
Loi de probabilité : $P(X=18) = 0,655$ et $P(X=10) = 1 - 0,655 = 0,345$.
L'espérance est $E(X) = 18 \times 0,655 + 10 \times 0,345 = 11,79 + 3,45 = 15,24$.
En moyenne, un spectateur dépense 15,24€ par séance.