Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation concrète (la vente de voitures électriques) à l'aide de suites numériques. Il mêle deux types d'approches classiques en classe de Première Spécialité : l'étude de suites définies par récurrence et l'utilisation d'un algorithme Python pour déterminer un seuil. La première partie demande de comparer deux modèles (un géométrique et un arithmético-géométrique) avec des données observées graphiquement.
Points de vigilance et notions requises
- Multiplicateur : Pour une augmentation de 21 %, le coefficient multiplicateur est \(1 + \frac{21}{100} = 1,21\).
- Suites géométriques : Reconnaître la forme \(u_{n+1} = q \times u_n\) et savoir exprimer le terme général \(u_n = u_0 \times q^n\).
- Algorithmique : Comprendre le fonctionnement d'une boucle
while (tant que) : l'algorithme s'arrête dès que la condition u < 50 n'est plus vérifiée.
- Arrondis : Faire attention à la consigne d'arrondi à 0,1 près pour les calculs intermédiaires.
Correction détaillée
1. Comparaison des modèles
a) Calcul des premiers termes :
- Modèle 1 (\(u_n\)) : \(u_1 = 17,3 \times 1,21 \approx 20,9\) ; \(u_2 = 20,933 \times 1,21 \approx 25,3\) ; \(u_3 = 25,32... \times 1,21 \approx 30,6\).
- Modèle 2 (\(v_n\)) : \(v_1 = 0,7 \times 17,3 + 10 = 22,1\) ; \(v_2 = 0,7 \times 22,1 + 10 = 25,5\) ; \(v_3 = 0,7 \times 25,47 + 10 \approx 27,8\).
b) Choix du modèle : Les données réelles sont 21,8 (2016), 24,9 (2017) et 31,1 (2018). Si l'on compare, les termes de la suite \(u_n\) (20,9 ; 25,3 ; 30,6) sont globalement plus proches des valeurs observées que ceux de \(v_n\) (22,1 ; 25,5 ; 27,8), notamment pour l'année 2018 (31,1 vs 27,8). Le modèle 1 semble plus adapté.
2. Étude de la suite (u_n)
a) Nature de la suite : Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par 1,21. La suite \((u_n)\) est donc une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 17,3\) et de raison \(q = 1,21\).
b) Terme général : D'après la formule du cours, \(u_n = u_0 \times q^n\), soit \(u_n = 17,3 \times 1,21^n\).
3. Algorithme Python
L'algorithme calcule les termes successifs de la suite \(u_n\) tant qu'ils sont inférieurs à 50. Calculons les valeurs :
\(u_4 = 17,3 \times 1,21^4 \approx 37,1\)
\(u_5 = 17,3 \times 1,21^5 \approx 44,9\)
\(u_6 = 17,3 \times 1,21^6 \approx 54,3\).
L'algorithme s'arrête à \(n = 6\).
Interprétation : Cela signifie qu'en 2021 (\(2015 + 6\)), le nombre de voitures électriques immatriculées dépassera pour la première fois les 50 000 unités selon ce modèle.